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Chapitre VII. Descente globale
façon suivante. Considérons d’autres sous-groupes hyperspéciaux K
v pour v ∈ V ,
soumis aux conditions de [VI] 1.1. Ces conditions impliquent qu’il existe un ensemble fini de places S contenant V tel que K
v = K v pour v ∈ S. La distribution
SA
G (S, X ) ne change donc pas quand on remplace les K v par les K
v . On sait
qu’elle est stable d’après le théorème d’Arthur. De plus, pour v ∈ S − V , les compacts K v et K
v sont conjugués par un élément de G AD (F v ) : il en est ainsi pour
tout couple de sous-groupes compacts hyperspéciaux. La preuve du corollaire 2.5
montre que la distribution SA
G (V, X ) ne change pas non plus quand on remplace
les K v par les K
v .
En fait, nous n’utiliserons le théorème d’Arthur que pour l’élément X correspondant à la classe de conjugaison stable réduite à {1}. Dans ce cas, on note
plutôt nos distributions A
G,E
unip (V ) et SA
G
unip (V ).
VII.3.2 Définition d’une autre distribution stable
On suppose que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient X ∈
Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places contenant V ram . On a vu que X
correspondait à une classe de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ). On sait qu’il existe
un élément de cette classe telle que G soit quasi-déployé. On fixe un tel . Soit
U un voisinage ouvert de l’unité dans G (F V ) qui vérifie les conditions suivantes :
– x ∈ U si et seulement si sa partie semi-simple x ss appartient à U ;
– si x ∈ U et y ∈ G (F V ) sont conjugués par un élément de Z G (; ¯
F V ) (où
¯
F V =
v∈V
¯
F v ), alors y ∈ U .
On note ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F V ) dont la partie semi-simple
est stablement conjuguée à un élément de U . On note SI( ˜
U ), resp. SI(U ), le
sous-espace des éléments de SI( ˜
G(F V )), resp. SI(G (F V )), à support dans ˜
U ,
resp. U . On pose Ξ = Z G ()/G . Ce groupe est naturellement muni d’une action
galoisienne. On a établi en [I] lemme 4.8 un isomorphisme de descente desc
st
:
SI( ˜
U ) ⊗ Mes(G(F V )) SI(U )
Ξ
Γ F V
⊗ Mes(G (F V )) pourvu que U soit assez
petit. Dans cette référence, on avait fixé les mesures mais l’isomorphisme devient
canonique quand on l’écrit sous la forme ci-dessus. Rappelons la caractérisation de
l’isomorphisme. Soit x ∈ U tel que xx ∈ ˜
G reg (F V ). Fixons une mesure de Haar sur
(G ) x (F V ) = G xx (F V ). Rappelons que la donnée de x et de la mesure définit un
élément de D
st
orb (U ) ⊗ Mes(G (F V ))
∗ , à savoir l’intégrale orbitale stable S
G (x, .).
De même, la donnée de xx et de la mesure définit une intégrale orbitale stable
S
˜
G (xx, .). Soient alors f ∈ SI( ˜
U ) ⊗ Mes(G(F V )) et f = desc
st
(f ). On a l’égalité
S
G (x, f ) = S
˜
G (xx, f ).
Les distributions de 1.10 dépendent d’une mesure sur A G fixée en [VI] 1.3.
On doit aussi fixer une mesure sur A G . Dans le cas général, le choix est arbitraire.
Mais, si on suppose elliptique, on a A G = A G et on choisit la mesure déjà fixée
sur ce dernier espace.
Chapitre VII. Descente globale
façon suivante. Considérons d’autres sous-groupes hyperspéciaux K
v pour v ∈ V ,
soumis aux conditions de [VI] 1.1. Ces conditions impliquent qu’il existe un ensemble fini de places S contenant V tel que K
v = K v pour v ∈ S. La distribution
SA
G (S, X ) ne change donc pas quand on remplace les K v par les K
v . On sait
qu’elle est stable d’après le théorème d’Arthur. De plus, pour v ∈ S − V , les compacts K v et K
v sont conjugués par un élément de G AD (F v ) : il en est ainsi pour
tout couple de sous-groupes compacts hyperspéciaux. La preuve du corollaire 2.5
montre que la distribution SA
G (V, X ) ne change pas non plus quand on remplace
les K v par les K
v .
En fait, nous n’utiliserons le théorème d’Arthur que pour l’élément X correspondant à la classe de conjugaison stable réduite à {1}. Dans ce cas, on note
plutôt nos distributions A
G,E
unip (V ) et SA
G
unip (V ).
VII.3.2 Définition d’une autre distribution stable
On suppose que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient X ∈
Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places contenant V ram . On a vu que X
correspondait à une classe de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ). On sait qu’il existe
un élément de cette classe telle que G soit quasi-déployé. On fixe un tel . Soit
U un voisinage ouvert de l’unité dans G (F V ) qui vérifie les conditions suivantes :
– x ∈ U si et seulement si sa partie semi-simple x ss appartient à U ;
– si x ∈ U et y ∈ G (F V ) sont conjugués par un élément de Z G (; ¯
F V ) (où
¯
F V =
v∈V
¯
F v ), alors y ∈ U .
On note ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F V ) dont la partie semi-simple
est stablement conjuguée à un élément de U . On note SI( ˜
U ), resp. SI(U ), le
sous-espace des éléments de SI( ˜
G(F V )), resp. SI(G (F V )), à support dans ˜
U ,
resp. U . On pose Ξ = Z G ()/G . Ce groupe est naturellement muni d’une action
galoisienne. On a établi en [I] lemme 4.8 un isomorphisme de descente desc
st
:
SI( ˜
U ) ⊗ Mes(G(F V )) SI(U )
Ξ
Γ F V
⊗ Mes(G (F V )) pourvu que U soit assez
petit. Dans cette référence, on avait fixé les mesures mais l’isomorphisme devient
canonique quand on l’écrit sous la forme ci-dessus. Rappelons la caractérisation de
l’isomorphisme. Soit x ∈ U tel que xx ∈ ˜
G reg (F V ). Fixons une mesure de Haar sur
(G ) x (F V ) = G xx (F V ). Rappelons que la donnée de x et de la mesure définit un
élément de D
st
orb (U ) ⊗ Mes(G (F V ))
∗ , à savoir l’intégrale orbitale stable S
G (x, .).
De même, la donnée de xx et de la mesure définit une intégrale orbitale stable
S
˜
G (xx, .). Soient alors f ∈ SI( ˜
U ) ⊗ Mes(G(F V )) et f = desc
st
(f ). On a l’égalité
S
G (x, f ) = S
˜
G (xx, f ).
Les distributions de 1.10 dépendent d’une mesure sur A G fixée en [VI] 1.3.
On doit aussi fixer une mesure sur A G . Dans le cas général, le choix est arbitraire.
Mais, si on suppose elliptique, on a A G = A G et on choisit la mesure déjà fixée
sur ce dernier espace.