VII.3. Enoncés de nouveaux théorèmes
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VII.2.5 Extension de l’ensemble fini de places
Corollaire.
(i) Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram et soit
X ∈ Stab( ˜
G(F )).
Supposons qu’il existe un ensemble fini S de places de F contenant V et tel
que l’assertion du théorème 1.10(i) soit vérifiée pour le couple (S, X ). Alors
cette assertion est vérifiée pour le couple (V, X ).
(ii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors la même propriété vaut pour le théorème 1.10(ii).
Preuve. Si A
˜
G,E (S, X , ω) = A
˜
G (S, X , ω), on peut supposer que les décompositions
2.3 (1) et 2.3 (4) de cette distribution coïncident. L’égalité 2.3(2) et celle du
(i) de la proposition 2.3 entraînent alors l’égalité A
˜
G,E (V, X , ω) = A
˜
G (V, X , ω).
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’hypothèse du (ii) de
la proposition 2.3 est vérifiée. La formule de cette proposition exprime SA
˜
G (V, X )
comme combinaison linéaire de distributions stables. Donc SA
˜
G (V, X ) est stable.
La distribution SA
˜
G (S, X ) ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v )
des ˜
K v pour v ∈ S. Elle ne dépend pas des ˜
K v pour v ∈ S − V . Pour un espace de
Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et pour X M ∈ Stab( ˜
M (F )), la distribution SA
˜
M (S, X ˜
M ) vérifie
les mêmes propriétés. En effet, elle ne dépend que des classes de conjusaison par
M AD (F v ) des ˜
K v ∩ ˜
M (F v ) pour v ∈ S. On a vu dans la preuve de [II] 4.2(3)
que, si ˜
K v et ˜
K
v sont conjugués par un élément de G AD (F v ) et sont tous deux en
bonne position relativement à M , alors les espaces ˜
K v ∩ ˜
M (F v ) et ˜
K
v ∩ ˜
M (F v ) sont
conjugués par un élément de M ad (F v ). L’assertion s’ensuit. Alors, pour v ∈ S, la
formule du (ii) de la proposition 2.3 ne dépend que de la classe de conjugaison par
G AD (F v ) de ˜
K v . Pour v ∈ S − V , la formule ne dépend des ˜
K v que par les formes
linéaires s
˜
G
˜
M
(., ˜
K
V
S ). Or, d’après 2.2(1), celles-ci ne dépendent que des classes de
conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v pour v ∈ S − V . Finalement, SA
˜
G (V, X ) ne
dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v pour v ∈ V .
VII.3 Enoncés de nouveaux théorèmes
VII.3.1 Le théorème d’Arthur
Supposons ici G = ˜
G, a = 1, ˜
K v = K v pour tout v ∈ V .
Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 1.10(i) et (ii) sont vérifiés.
C’est l’un des principaux résultats de l’article d’Arthur ([18] global theorem 1
). La propriété 1.10(1) de SA
G (V, X ) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais est incluse dans sa démonstration. On la retrouve en tout cas de la