786
Chapitre VII. Descente globale
Si ˜
M = ˜
G, on a A
˜
M ,E (S, X M , ω) = A
˜
M (S, X M , ω) d’après les hypothèses de récurrence. Alors la décomposition ci-dessus est de la forme 2.3(1) : l’ensemble d’indices
{1, . . . , n(X M )} est la réunion disjointe des {1, . . . , n(X M )} sur les M
et X M intervenant ci-dessus. Si ˜
M = ˜
G, cette décomposition est de même de la forme
2.3(4). Il en résulte par définition que
B( ˜
M , X M ) =
M ∈E( ˜
M,aM ,S)
i( ˜
M, ˜
M
)
X M ∈Stab( ˜
M (F )),X M →XM
i=1,...,n(X M )
r
˜
G
˜
M
(transfert(Sk
M
i (X M )
V
S ), ˜
K
V
S )(transfert(SA
M
i (X M ) V ))
˜
G .
En utilisant (7) et (8), on voit que
B( ˜
M , X M ) = B( ˜
M , X M ).
Alors les membres de droite de (6) et (9) coïncident. Cela prouve l’égalité
(10)
A
˜
G,E (V, X , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω),
ce qui est le (i) de la proposition 2.3.
Prouvons maintenant le (ii) de cette proposition. On suppose (G, ˜
G, a) quasidéployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). La formule 1.10(3) se modifie en
A
˜
G,E (V, X ) = SA
˜
G (V, X ) +
G ∈E( ˜
G,a,V ),G =G
X G ∈Stab( ˜
G (F )),X G →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X G )).
Pour G
= G, on a encore l’égalité (2) et on peut remplacer le terme
transfert(SA
G
(V, X G ))
ci-dessus par le membre de droite de cette égalité. Pour G
= G, le membre de
droite de (2) est égal au membre de droite de l’égalité du (ii) de la proposition
2.3. On ne sait pas qu’il est égal à SA
˜
G (V, X ), c’est ce qu’on veut prouver. Mais
on peut remplacer SA
˜
G (V, X ) par le membre de droite de (2), plus un nombre C
dont on veut prouver qu’il est nul. Le calcul se poursuit comme précédemment et
on obtient l’égalité
A
˜
G,E (V, X ) = C + A
˜
G,E (V, X ).
Mais, comme on l’a dit au début de la preuve, dans notre situation quasi-déployée
à torsion intérieure, le (i) de la proposition 2.3, c’est-à-dire l’égalité (10), est tautologique. On conclut C = 0, ce qui prouve le (ii) de la proposition 2.3.
Chapitre VII. Descente globale
Si ˜
M = ˜
G, on a A
˜
M ,E (S, X M , ω) = A
˜
M (S, X M , ω) d’après les hypothèses de récurrence. Alors la décomposition ci-dessus est de la forme 2.3(1) : l’ensemble d’indices
{1, . . . , n(X M )} est la réunion disjointe des {1, . . . , n(X M )} sur les M
et X M intervenant ci-dessus. Si ˜
M = ˜
G, cette décomposition est de même de la forme
2.3(4). Il en résulte par définition que
B( ˜
M , X M ) =
M ∈E( ˜
M,aM ,S)
i( ˜
M, ˜
M
)
X M ∈Stab( ˜
M (F )),X M →XM
i=1,...,n(X M )
r
˜
G
˜
M
(transfert(Sk
M
i (X M )
V
S ), ˜
K
V
S )(transfert(SA
M
i (X M ) V ))
˜
G .
En utilisant (7) et (8), on voit que
B( ˜
M , X M ) = B( ˜
M , X M ).
Alors les membres de droite de (6) et (9) coïncident. Cela prouve l’égalité
(10)
A
˜
G,E (V, X , ω) = A
˜
G,E (V, X , ω),
ce qui est le (i) de la proposition 2.3.
Prouvons maintenant le (ii) de cette proposition. On suppose (G, ˜
G, a) quasidéployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). La formule 1.10(3) se modifie en
A
˜
G,E (V, X ) = SA
˜
G (V, X ) +
G ∈E( ˜
G,a,V ),G =G
X G ∈Stab( ˜
G (F )),X G →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X G )).
Pour G
= G, on a encore l’égalité (2) et on peut remplacer le terme
transfert(SA
G
(V, X G ))
ci-dessus par le membre de droite de cette égalité. Pour G
= G, le membre de
droite de (2) est égal au membre de droite de l’égalité du (ii) de la proposition
2.3. On ne sait pas qu’il est égal à SA
˜
G (V, X ), c’est ce qu’on veut prouver. Mais
on peut remplacer SA
˜
G (V, X ) par le membre de droite de (2), plus un nombre C
dont on veut prouver qu’il est nul. Le calcul se poursuit comme précédemment et
on obtient l’égalité
A
˜
G,E (V, X ) = C + A
˜
G,E (V, X ).
Mais, comme on l’a dit au début de la preuve, dans notre situation quasi-déployée
à torsion intérieure, le (i) de la proposition 2.3, c’est-à-dire l’égalité (10), est tautologique. On conclut C = 0, ce qui prouve le (ii) de la proposition 2.3.