VII.2. Formules de scindage
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On applique la proposition 2.2(i) et on obtient
(7)
b(M
, X M ) =
i=1,...,n(X M )
r
˜
G
˜
M
(transfert(Sk
M
i (X M )
V
S ), ˜
K
V
S )
(transfert(SA
M
i (X M ) V ))
˜
G .
On a supposé ici M
non ramifié hors de V . Mais le membre de droite ci-dessus
conserve un sens si M
est seulement non ramifié hors de S. Pour un tel M
, on
définit b(M
, X M ) par l’égalité (7). Si M
est non ramifié hors de S mais pas
hors de V , on a b(M
, X M ) = 0 : cela résulte de la proposition 2.2(ii). Dans la
définition (5), on peut donc étendre la somme en M
∈ E( ˜
M , a M , V ) en une somme
en M
∈ E( ˜
M , a M , S). C’est-à-dire
(8)
B( ˜
M , X M ) =
M ∈E( ˜
M,aM ,S)
i( ˜
M, ˜
M
)
X M ∈Stab( ˜
M
(F )),
X M →XM
b(M
, X M ).
On note A
˜
G,E (V, X , ω) le membre de droite de l’égalité du (i) de la proposition
2.3. Pour ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et X M ∈ Stab( ˜
M (F )), posons
– si ˜
M = ˜
G,
B( ˜
M , X M ) =
i=1,...,n(XM )
r
˜
G
˜
M
(k
˜
M
i (X M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G
i (X M , ω) V ;
– si ˜
M = ˜
G,
B( ˜
G, X G ) =
i=1,...,n(XG)
r
˜
G,E (k
˜
G,E
i
(X G , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G,E
i
(X G , ω) V .
On a alors
(9)
A
˜
G,E (V, X , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1 B( ˜
M , X M ).
Fixons ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et X M ∈ Stab( ˜
M (F )). Par définition, on a
A
˜
M ,E (S, X M , ω) =
M ∈E( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M , ˜
M
)
X M ∈Stab( ˜
M
(F )),
X M →XM
transfert(SA
M
(S, X M )).
En utilisant (1), on obtient
A
˜
M,E (S, X M , ω) =
M ∈E( ˜
M,aM ,S)
i( ˜
M , ˜
M
)
X M ∈Stab( ˜
M (F )),X M →XM
i=1,...,n(X M )
transfert(Sk
M
i (X M )
V
S ) transfert(SA
M
i (X M ) V ).