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Chapitre VII. Descente globale
et les termes S(G
(˜ s), M
) sont nuls. D’autre part, fixons ˜
M , M
et ˜
s intervenant
ci-dessus. On a un diagramme commutatif
Stab( ˜
M
(F )) → Stab( ˜
G
(˜ s; F ))
↓
↓
Stab( ˜
M (F )) →
Stab( ˜
G(F )) .
Dans la définition de S(G
(˜ s), M
), on peut donc remplacer la double somme en
X G (˜ s) tel que X G (˜ s) → X et en X M tel que X M → X G (˜ s) par une double somme
sur X M ∈ Stab( ˜
M (F )) tel que X M → X et sur X M ∈ Stab( ˜
M
(F )) tel que
X M → X M . On a aussi l’égalité
transfert(SA
G
(˜ s)
i
(X M ) V ) = (transfert(SA
M
i (X M ) V ))
˜
G .
On obtient
S(G
(˜ s), M
) =
XM ∈Stab( ˜
M (F )),XM →X
X M ∈Stab( ˜
M (F )),X M →XM
i=1,...,n(X M )
s
G
(˜ s)
M (Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S )(transfert(SA
M
i (X M ) V ))
˜
G .
Pour X M ∈ Stab( ˜
M
(F )), posons
(4)
b(M
, X M ) =
i=1,...,n(X M )
(transfert(SA
M
i (X M ) V ))
˜
G
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))s
G
(˜ s)
M (Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S ).
Pour X M ∈ Stab( ˜
M (F )), posons
(5)
B( ˜
M , X M ) =
M ∈E( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M , ˜
M
)
X M ∈Stab( ˜
M
(F )),
X M →XM
b(M
, X M ).
Les considérations ci-dessus permettent de récrire l’égalité (3) sous la forme
(6)
A
˜
G,E (V, X , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
XM ∈Stab( ˜
M (F )),
XM →X
B( ˜
M , X M ).
Dans la formule (4), on reconnaît la somme en ˜
s : elle est égale à
r
˜
G,E
˜
M
(M
, Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S ).