VII.2. Formules de scindage
783
On applique la formule de définition 1.10(3) et la formule (2) ci-dessus. On
obtient
A
˜
G,E (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
X G 훀 ∈Stab( ˜
G (F )),X G 훀 →X
i( ˜
G, ˜
G
)
˜
M ∈L( ˜
M
0 ), ˜
M relevant
|W
M
||W
G
|
−1
X M ∈Stab( ˜
M (F )),X M →X G
i=1,...,n(X M )
s
G
M (Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S ) transfert(SA
G
i (X M ) V ).
Pour un élément G
∈ E( ˜
G, a) et un espace de Levi ˜
M
de ˜
G
, que l’on identifiera
dans la notation à une «donnée de Levi» M
, définissons un terme S(G
, M
) de la
façon suivante. Si G
n’est pas non ramifiée hors de V ou si M
n’est pas relevant,
on pose S(G
, M
) = 0. Si G
est non ramifiée hors de V et si M
est relevant, on
pose
S(G
, M
) =
X G 𚵿 ∈Stab( ˜
G
(F )),
X G →X
X M 𚵿 ∈Stab( ˜
M
(F )),
X M →X G
i=1,...,n(X M )
s
G
M (Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S ) transfert(SA
G
i (X M ) V ).
La formule ci-dessus se récrit
A
˜
G,E (V, X , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)
˜
M ∈L( ˜
M
0 )
|W
M
||W
G
|
−1 S(G
, M
).
On peut appliquer la proposition [VI] 6.5. La formule de cette proposition fait
apparaître des Levi ˆ
M du groupe dual ˆ
G. Cela parce que l’on considérait une
situation générale où le terme S(G
, M
) pouvait être non nul même si M
n’était
pas relevant. Ici, seuls peuvent apparaître des M
qui sont relevants et des ˆ
M
correspondant à des espaces de Levi ˜
M de ˜
G. On peut récrire cette proposition en
sommant sur de tels espaces ˜
M et de telles données endoscopiques de (M, ˜
M , a M ).
On obtient
(3)
A
˜
G,E (V, X , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
M ∈E( ˜
M,aM )
i( ˜
M , ˜
M
)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S(G
(˜ s), M
).
On a noté simplement ˜
ζ le terme tel que M
= (M
, M
, ˜
ζ). On peut limiter la
somme en M
aux éléments de E( ˜
M , a M , V ). En effet, si M
n’est pas ramifié hors
de V , les données G
(˜ s) apparaissant ne sont pas non plus non ramifiées hors de V