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Chapitre VII. Descente globale
donnée endoscopique elliptique M
de (M, ˜
M , a M ). Comme on l’a dit en 1.10, des
formalités permettent de définir des distributions SA
M
(V, X M ) et SA
M
(S, X M ).
On peut décomposer cette dernière par une formule similaire à 2.3(3) :
(1)
SA
M
(S, X M ) =
i=1,...,n(X M )
Sk
M
i (X M )
V
S ⊗ SA
M
i (X M ) V .
On note SA
G
i (X M ) V l’induite à G
de SA
M
i (X M ) V .
Soient G
∈ E( ˜
G, a, V ) et X G ∈ Stab( ˜
G(F )). Montrons que l’on a l’égalité
transfert(SA
G
(V, X G )) =
˜
M
∈L( ˜
M
0 ),
˜
M
relevant
|W
M
||W
G
|
−1
(2)
X M ∈Stab( ˜
M
(F )),
X M →X G
i=1,...,n(X M )
s
G
M (Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S ) transfert(SA
G
i (X M ) V ).
Preuve. On fixe des données auxiliaires G
1 etc. . . pour G
. Alors SA
G
(V, X G )
s’identifie à une distribution que l’on peut noter SA
˜
G
1
λ1 (V, X G ). Grâce à nos hypothèses de récurrence et à quelques formalités, on peut lui appliquer le (ii) de
la proposition 2.3. On applique ensuite l’application de transfert à la formule obtenue. On obtient une formule similaire à celle ci-dessus. Plus précisément, on
obtient une somme sur ˜
M
∈ L( ˜
M
0 ) de certains termes, notons-les X( ˜
M
). On
voit facilement que, si ˜
M
est relevant, X( ˜
M
) est égal au terme indexé par ˜
M
intervenant dans (2). Il faut montrer que, si ˜
M
n’est pas relevant, X( ˜
M
) est nul.
En tout cas, X( ˜
M
) est un transfert d’un élément de
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ Mes(G
(F V ))
∗
qui est induit à partir d’un élément de
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F V )) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ .
Il s’ensuit que, pour que X( ˜
M
) soit nul, il suffit qu’il existe une place v ∈ V
telle que l’espace de Levi localisé ˜
M
v ne soit pas relevant. Par hypothèse, ˜
M
n’est pas relevant. Par définition, cela signifie soit que ˜
M
(F ) = ∅, soit qu’il existe
v ∈ Val(F ) tel que ˜
M
v n’est pas relevant. La première possibilité est exclue : G
est relevant, donc ˜
G
(F ) = ∅ et alors ˜
M
(F ) = ∅ puisque ˜
M
est un espace de
Levi de ˜
G
. Donc il existe une place v ∈ Val(F ) telle que ˜
M
v n’est pas relevant. Il
reste à montrer qu’une telle place appartient à V . Pour v ∈ V , G est quasi-déployé
sur F v donc il existe un espace de Levi ˜
M v de ˜
G v tel que ˜
M
v apparaisse comme
l’espace associé à une donnée endoscopique elliptique M
v de (M v , ˜
M v , a Mv ). Parce
que G
est non ramifiée en v, M
v l’est aussi. Alors M
v est relevante d’après le
lemme [I] 6.2. Cela prouve (2).
Chapitre VII. Descente globale
donnée endoscopique elliptique M
de (M, ˜
M , a M ). Comme on l’a dit en 1.10, des
formalités permettent de définir des distributions SA
M
(V, X M ) et SA
M
(S, X M ).
On peut décomposer cette dernière par une formule similaire à 2.3(3) :
(1)
SA
M
(S, X M ) =
i=1,...,n(X M )
Sk
M
i (X M )
V
S ⊗ SA
M
i (X M ) V .
On note SA
G
i (X M ) V l’induite à G
de SA
M
i (X M ) V .
Soient G
∈ E( ˜
G, a, V ) et X G ∈ Stab( ˜
G(F )). Montrons que l’on a l’égalité
transfert(SA
G
(V, X G )) =
˜
M
∈L( ˜
M
0 ),
˜
M
relevant
|W
M
||W
G
|
−1
(2)
X M ∈Stab( ˜
M
(F )),
X M →X G
i=1,...,n(X M )
s
G
M (Sk
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S ) transfert(SA
G
i (X M ) V ).
Preuve. On fixe des données auxiliaires G
1 etc. . . pour G
. Alors SA
G
(V, X G )
s’identifie à une distribution que l’on peut noter SA
˜
G
1
λ1 (V, X G ). Grâce à nos hypothèses de récurrence et à quelques formalités, on peut lui appliquer le (ii) de
la proposition 2.3. On applique ensuite l’application de transfert à la formule obtenue. On obtient une formule similaire à celle ci-dessus. Plus précisément, on
obtient une somme sur ˜
M
∈ L( ˜
M
0 ) de certains termes, notons-les X( ˜
M
). On
voit facilement que, si ˜
M
est relevant, X( ˜
M
) est égal au terme indexé par ˜
M
intervenant dans (2). Il faut montrer que, si ˜
M
n’est pas relevant, X( ˜
M
) est nul.
En tout cas, X( ˜
M
) est un transfert d’un élément de
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ Mes(G
(F V ))
∗
qui est induit à partir d’un élément de
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F V )) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ .
Il s’ensuit que, pour que X( ˜
M
) soit nul, il suffit qu’il existe une place v ∈ V
telle que l’espace de Levi localisé ˜
M
v ne soit pas relevant. Par hypothèse, ˜
M
n’est pas relevant. Par définition, cela signifie soit que ˜
M
(F ) = ∅, soit qu’il existe
v ∈ Val(F ) tel que ˜
M
v n’est pas relevant. La première possibilité est exclue : G
est relevant, donc ˜
G
(F ) = ∅ et alors ˜
M
(F ) = ∅ puisque ˜
M
est un espace de
Levi de ˜
G
. Donc il existe une place v ∈ Val(F ) telle que ˜
M
v n’est pas relevant. Il
reste à montrer qu’une telle place appartient à V . Pour v ∈ V , G est quasi-déployé
sur F v donc il existe un espace de Levi ˜
M v de ˜
G v tel que ˜
M
v apparaisse comme
l’espace associé à une donnée endoscopique elliptique M
v de (M v , ˜
M v , a Mv ). Parce
que G
est non ramifiée en v, M
v l’est aussi. Alors M
v est relevante d’après le
lemme [I] 6.2. Cela prouve (2).