VII.2. Formules de scindage
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Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Pour X ∈ Stab( ˜
G(F )), on a
défini une distribution A
˜
G,E (S, X , ω) en 1.10. On peut la décomposer de la même
façon qu’en (1) :
(4)
A
˜
G,E (S, X , ω) =
i=1,...,n(X )
k
˜
G,E
i
(X , ω)
V
S ⊗ A
˜
G,E
i
(X , ω) V
avec des k
˜
G,E
i
(X M , ω)
V
S ∈ D g´ eom ( ˜
G(F
V
S ), ω) et des
A
˜
G,E
i
(X , ω) V ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Proposition. Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )).
(i) On a l’égalité
A
˜
G,E (V, X , ω) =
i=1,...,n(X )
r
˜
G (k
˜
G,E
i
(X , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G,E
i
(X , ω) V
+
˜
M ∈L( ˜
M0),
˜
M = ˜
G
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
XM ∈Stab( ˜
M (F )),
XM →X
i=1,...,n(XM )
r
˜
G
˜
M
(k
˜
M
i (X M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G
i (X M , ω) V .
(ii) Supposons que (G, ˜
G, a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure et que
SA
˜
G (S, X ) soit stable. Alors on a l’égalité
SA
˜
G (V, X ) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
XM ∈Stab( ˜
M (F )),XM →X
i=1,...,n(XM )
s
˜
G
˜
M
(Sk
˜
M
i (X M )
V
S , ˜
K
V
S )SA
˜
G
i (X M ) V .
VII.2.4 Preuve de la proposition 2.3
Prouvons le (i) de cette proposition. Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion
intérieure, on a par définition les égalités
A
˜
G,E (V, X , ω) = A
˜
G (V, X , ω) et A
˜
G,E (S, X , ω) = A
˜
G (S, X , ω).
La formule à prouver n’est autre que 2.3(2). On suppose maintenant que (G, ˜
G, a)
n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure.
Soient G
∈ E( ˜
G, a, S) et ˜
M
∈ L( ˜
M
0 ) (où ˜
M
0 est le Levi minimal fixé dans
˜
G
). Soit X M ∈ Stab( ˜
M
(F )). Supposons que ˜
M
soit relevant. Alors il existe
un espace de Levi ˜
M de ˜
G tel que ˜
M
apparaisse comme l’espace associé à une