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Chapitre VII. Descente globale
Soit ˜
M ∈L( ˜
M 0 ). Choisissons une paire de Borel épinglée E = (B,T,(E α ) α∈Δ )
de G telle que M soit standard. Alors M détermine un sous-ensemble Δ
M
⊂
Δ et (B, T, (E α ) a∈Δ M ) est une paire de Borel épinglée de M . En identifiant
ces paires aux paires de Borel épinglées de G et M , on a une inclusion naturelle Stab( ˜
M (F )) ⊂ Stab( ˜
G(F )), qui dépend du choix de E. Il s’en déduit
une application Stab( ˜
M (F )) → Stab( ˜
G(F )). Celle-ci ne dépend plus du choix
de E. On la note simplement X M → X. Pour X M ∈ Stab( ˜
M (F )), on a défini en 1.9 une distribution A
˜
M (S, X M , ω) ∈ D g´ eom ( ˜
M (F S ), ω) ⊗ Mes(M (F S ))
∗ .
Cet espace est le produit tensoriel de D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) ⊗ Mes(M (F
V
S ))
∗ et de
D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ . De plus, le choix des mesures canoniques identifie Mes(M (F
V
S ))
∗ à C. On peut donc écrire
(1)
A
˜
M (S, X M , ω) =
i=1,...,n(XM )
k
˜
M
i (X M , ω)
V
S ⊗ A
˜
M
i (X M , ω) V
avec des k
˜
M
i (X M , ω)
V
S ∈ D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) et des
A
˜
M
i (X M , ω) V ∈ D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
On note
A
˜
G
i (X M , ω) V ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
l’induite de A
˜
M
i (X M , ω) V . On a rappelé dans le paragraphe précédent la forme
linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K S−V ) et on en a défini divers avatars. Nous modifions légèrement
leur notation en remplaçant ˜
K S−V par ˜
K
V
S .
Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). Il résulte de la définition de 1.9 et de [VI] 2.3(9) que
l’on a l’égalité
(2)
A
˜
G (V, X , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
XM ∈Stab( ˜
M(F )),XM →X
i=1,...,n(XM )
r
˜
G
˜
M
(k
˜
M
i (X M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G
i (X M , ω) V .
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et
X M ∈ Stab( ˜
M (F )), on a défini la distribution SA
˜
M (S, X M ) en 1.10. Si ˜
M = ˜
G,
elle est stable d’après le théorème 1.10(ii) et nos hypothèses de récurrence. Si
˜
M = ˜
G, supposons qu’elle est stable. On peut alors la décomposer comme en (1) en
(3)
SA
˜
M (S, X M ) =
i=1,...,n(XM )
Sk
˜
M
i (X M )
V
S ⊗ SA
˜
M
i (X M ) V
avec des Sk
˜
M
i (X M )
V
S ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F
V
S )) et des SA
˜
M
i (X M ) V ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F V )) ⊗
Mes(M (F V ))
∗ . On note SA
˜
G
i (X M ) V ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ l’induite de
SA
˜
M
i (X M ) V .
Chapitre VII. Descente globale
Soit ˜
M ∈L( ˜
M 0 ). Choisissons une paire de Borel épinglée E = (B,T,(E α ) α∈Δ )
de G telle que M soit standard. Alors M détermine un sous-ensemble Δ
M
⊂
Δ et (B, T, (E α ) a∈Δ M ) est une paire de Borel épinglée de M . En identifiant
ces paires aux paires de Borel épinglées de G et M , on a une inclusion naturelle Stab( ˜
M (F )) ⊂ Stab( ˜
G(F )), qui dépend du choix de E. Il s’en déduit
une application Stab( ˜
M (F )) → Stab( ˜
G(F )). Celle-ci ne dépend plus du choix
de E. On la note simplement X M → X. Pour X M ∈ Stab( ˜
M (F )), on a défini en 1.9 une distribution A
˜
M (S, X M , ω) ∈ D g´ eom ( ˜
M (F S ), ω) ⊗ Mes(M (F S ))
∗ .
Cet espace est le produit tensoriel de D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) ⊗ Mes(M (F
V
S ))
∗ et de
D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ . De plus, le choix des mesures canoniques identifie Mes(M (F
V
S ))
∗ à C. On peut donc écrire
(1)
A
˜
M (S, X M , ω) =
i=1,...,n(XM )
k
˜
M
i (X M , ω)
V
S ⊗ A
˜
M
i (X M , ω) V
avec des k
˜
M
i (X M , ω)
V
S ∈ D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) et des
A
˜
M
i (X M , ω) V ∈ D g´ eom ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
On note
A
˜
G
i (X M , ω) V ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
l’induite de A
˜
M
i (X M , ω) V . On a rappelé dans le paragraphe précédent la forme
linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K S−V ) et on en a défini divers avatars. Nous modifions légèrement
leur notation en remplaçant ˜
K S−V par ˜
K
V
S .
Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). Il résulte de la définition de 1.9 et de [VI] 2.3(9) que
l’on a l’égalité
(2)
A
˜
G (V, X , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
XM ∈Stab( ˜
M(F )),XM →X
i=1,...,n(XM )
r
˜
G
˜
M
(k
˜
M
i (X M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G
i (X M , ω) V .
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et
X M ∈ Stab( ˜
M (F )), on a défini la distribution SA
˜
M (S, X M ) en 1.10. Si ˜
M = ˜
G,
elle est stable d’après le théorème 1.10(ii) et nos hypothèses de récurrence. Si
˜
M = ˜
G, supposons qu’elle est stable. On peut alors la décomposer comme en (1) en
(3)
SA
˜
M (S, X M ) =
i=1,...,n(XM )
Sk
˜
M
i (X M )
V
S ⊗ SA
˜
M
i (X M ) V
avec des Sk
˜
M
i (X M )
V
S ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F
V
S )) et des SA
˜
M
i (X M ) V ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F V )) ⊗
Mes(M (F V ))
∗ . On note SA
˜
G
i (X M ) V ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ l’induite de
SA
˜
M
i (X M ) V .