VII.2. Formules de scindage
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Une preuve similaire à celle de la proposition [VI] 4.2 montre que, pour
δ = ⊗ v∈U δ v , on a l’égalité
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) =
˜
L U ∈L( ˜
MU )
e
˜
G
˜
MU
( ˜
M, ˜
L
U )
v∈U
s
˜
L
v
˜
Mv
(δ v , ˜
K
˜
L
v
v ),
où les derniers termes sont les formes linéaires locales définies en [II] 4.2. Grâce à
cette égalité, les propriétés formelles requises ainsi que la propriété (1) résultent
des mêmes propriétés de ces formes linéaires locales prouvées en [II] 4.2.
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une
donnée endoscopique de (M, ˜
M , a M ) non ramifiée dans U . De nouveau, pour ˜
s ∈
˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , on définit une forme linéaire δ → s
G
(˜ s)
M (δ, ˜
K U ) sur D
st
g´ eom (M
U ). Pour
un tel δ, on pose
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K U ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))s
G
(˜ s)
M (δ, ˜
K U ).
Une preuve similaire à celle de la proposition [VI] 4.5 montre que, pour δ =
⊗ v∈U δ v , on a l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K U ) =
˜
L U ∈L( ˜
MU )
d
˜
G
˜
MU
( ˜
M , ˜
L
U )
v∈U
r
˜
L
v ,E
˜
Mv
(M
, δ v , ˜
K
˜
L
v
v ),
où les derniers termes sont les formes linéaires locales définies en 2.1. Grâce à cette
égalité et à l’égalité parallèle concernant les termes r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K U ) (cf. [VI] 1.13) , la
proposition suivante résulte de celle du paragraphe précédent.
Proposition. Soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(M, ˜
M , a M )
et soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
V ). Alors
(i) si M
est non ramifiée dans U , on a l’égalité
r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K U ) = r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K U );
(ii) si M
n’est pas non ramifiée dans U , on a l’égalité
r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K U ) = 0.
VII.2.3 Enoncé des formules de scindage
On considère un triplet quelconque (G, ˜
G, a) et deux ensembles finis V et S de
places de F tels que V ram ⊂ V ⊂ S.