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Chapitre VII. Descente globale
l’habitude, U ∩ V ram = ∅ et soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). On a défini en [VI] 1.13 une forme
linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K U ) sur D g´ eom ( ˜
M (F U ), ω) par
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K U ) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
KU ).
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Nous allons définir
une forme linéaire δ → s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) sur D
st
g´ eom ( ˜
M (F U )). Elle doit vérifier les propriétés formelles habituelles. Elle doit aussi posséder une propriété d’invariance
relativement à l’action de G AD (F U ) en le sens suivant. On oublie pour un temps
que l’on a fixé en 1.1 les espaces hyperspéciaux ˜
K v . Soient ˜
K U et ˜
K
U deux sousespaces hyperspéciaux de ˜
G(F U ) dont les groupes sous-jacents K U et K
U sont en
bonne position relativement à M 0 . Supposons que ˜
K U et ˜
K
U soient conjugués par
un élément de G AD (F U ). On doit alors avoir l’égalité
(1)
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K
U ) = s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U )
pour tout δ. Comme en [II] 4.2, cette condition permet de généraliser la définition
au cas où le groupe K U n’est pas supposé en bonne position relativement à M 0 .
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , introduisons la donnée endoscopique G
= G
(s) de
(G, ˜
G, a). Introduisons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ˜
K
1,U non ramifiées
dans U . Par une extension formelle des définitions, on définit s
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(δ 1 , ˜
K
1,U ) pour
δ 1 ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F U )). Si on remplace les données auxiliaires par d’autres données G
2 , . . . , ˜
K
2,U , ces termes se recollent pourvu que la fonction de recollement
˜
λ 12,U vérifie l’égalité ˜
λ 12,U (γ 1 , γ 2 ) = 1 pour γ 1 ∈ ˜
K 1,U et γ 2 ∈ ˜
K 2,U . Mais l’espace
D
st
g´ eom (M U ) a été défini en considérant des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1,U
et des fonctions de recollement identifiant les facteurs de transfert. L’identification entre les deux types de données auxiliaires se fait bien sûr en utilisant les
facteurs de transfert «non ramifiés» : on déduit des données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ˜
K
1,U
les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1,U , où Δ 1,U est le facteur de transfert déterminé par
le couple ( ˜
K U , ˜
K
1,U ). Les deux notions de recollement coïncident alors. Les formes
linéaires précédemment définies se recollent en une forme linéaire sur D
st
g´ eom (M U ).
La propriété (1) montre qu’elle ne dépend que de la classe de conjugaison par
G
AD (F U ) de l’espace hyperspécial ˜
K
U de ˜
G
(F U ), laquelle ne dépend que de ˜
K U
lui-même. Cela justifie de noter cette forme linéaire
δ → s
G
M (δ, ˜
K U ).
On peut alors poser la définition, pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F U )) :
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) = r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))s
G
(s)
M
(δ, ˜
K U ).
Chapitre VII. Descente globale
l’habitude, U ∩ V ram = ∅ et soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). On a défini en [VI] 1.13 une forme
linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K U ) sur D g´ eom ( ˜
M (F U ), ω) par
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K U ) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
KU ).
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Nous allons définir
une forme linéaire δ → s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) sur D
st
g´ eom ( ˜
M (F U )). Elle doit vérifier les propriétés formelles habituelles. Elle doit aussi posséder une propriété d’invariance
relativement à l’action de G AD (F U ) en le sens suivant. On oublie pour un temps
que l’on a fixé en 1.1 les espaces hyperspéciaux ˜
K v . Soient ˜
K U et ˜
K
U deux sousespaces hyperspéciaux de ˜
G(F U ) dont les groupes sous-jacents K U et K
U sont en
bonne position relativement à M 0 . Supposons que ˜
K U et ˜
K
U soient conjugués par
un élément de G AD (F U ). On doit alors avoir l’égalité
(1)
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K
U ) = s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U )
pour tout δ. Comme en [II] 4.2, cette condition permet de généraliser la définition
au cas où le groupe K U n’est pas supposé en bonne position relativement à M 0 .
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , introduisons la donnée endoscopique G
= G
(s) de
(G, ˜
G, a). Introduisons des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ˜
K
1,U non ramifiées
dans U . Par une extension formelle des définitions, on définit s
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(δ 1 , ˜
K
1,U ) pour
δ 1 ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F U )). Si on remplace les données auxiliaires par d’autres données G
2 , . . . , ˜
K
2,U , ces termes se recollent pourvu que la fonction de recollement
˜
λ 12,U vérifie l’égalité ˜
λ 12,U (γ 1 , γ 2 ) = 1 pour γ 1 ∈ ˜
K 1,U et γ 2 ∈ ˜
K 2,U . Mais l’espace
D
st
g´ eom (M U ) a été défini en considérant des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1,U
et des fonctions de recollement identifiant les facteurs de transfert. L’identification entre les deux types de données auxiliaires se fait bien sûr en utilisant les
facteurs de transfert «non ramifiés» : on déduit des données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ˜
K
1,U
les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1,U , où Δ 1,U est le facteur de transfert déterminé par
le couple ( ˜
K U , ˜
K
1,U ). Les deux notions de recollement coïncident alors. Les formes
linéaires précédemment définies se recollent en une forme linéaire sur D
st
g´ eom (M U ).
La propriété (1) montre qu’elle ne dépend que de la classe de conjugaison par
G
AD (F U ) de l’espace hyperspécial ˜
K
U de ˜
G
(F U ), laquelle ne dépend que de ˜
K U
lui-même. Cela justifie de noter cette forme linéaire
δ → s
G
M (δ, ˜
K U ).
On peut alors poser la définition, pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F U )) :
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) = r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K U ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))s
G
(s)
M
(δ, ˜
K U ).