VII.2. Formules de scindage
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Supposons que z (w) = 1. On fixe les choix précédents d’où en particulier
b(w) ∈ Z( ˆ
M SC ). On modifie z(w) en le remplaçant par z(w)b(w)
−1 ; ainsi z(w) ∈
ˆ
T
ˆ
θ,0 et a sc (w) = 1. Ainsi, avec (4), m sc (w) est dans le commutant de ζ sc ˆ
θ qui est
un groupe connexe et son image m(w)z(w) est dans la composante connexe du
commutant de ˜
ζ dans ˆ
M , c’est-à-dire ˆ
M
. Mais ˆ
M
contient ˆ
T
ˆ
θ,0 donc m(w) luimême est dans ˆ
M
. Puisque (m(w), w) ∈ M
, on a (1, w) ∈ M
et M
contient I F .
Réciproquement, supposons que (1, w) ∈ M
pour tout w ∈ I F . Alors on
peut prendre ci-dessus m(w) = 1. Il est alors clair que z (w) = 1 en reprenant la
construction rappelée ci-dessus de cet élément. Cela démontre (3).
On termine la preuve du (ii) de la proposition. Le groupe T
M
(o) agit par
conjugaison sur C
∞
c ( ˜
M (F )). Il s’en déduit une action sur I( ˜
M (F ), ω) et, par dualité, sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω). La propriété de transformation des facteurs de transfert
rappelée ci-dessus entraîne que, pour f ∈ C
∞
c ( ˜
M (F )), les transferts à M
de f et
de ω (x) ad x (f ) sont égaux. Par dualité, il en résulte que ω (x) ad x (transfert(δ)) =
transfert(δ). On va faire agir x par conjugaison mais pour que x agisse sur ˜
G(F ),
il faut commencer par relever x en un élément de G (F ), où G = G/Z(G)
θ . Pour
faire cela, posons T = T /Z(G)
θ . On commence par démontrer que l’application
T (o) → T
M
(o) est surjective : le conoyau s’injecte dans le groupe de cohomologie
H
1 (Gal(F
nr /F ); (Z(M )
θ /Z(G)
θ )(o
nr )), où F
nr est l’extension non ramifiée maximale de F et o
nr est son anneau d’entiers. Or Z(M )
θ /Z(G)
θ est un tore (donc
connexe) et ce groupe de cohomologie est nul par le théorème de Lang. On relève
donc x en un élément de T (o v ). Par simple transport de structure, on a l’égalité
r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(ad x (transfert(δ)), ad x ( ˜
K)).
Puisque transfert(δ) se transforme par un caractère non trivial de T
M
(o), il ne
reste plus qu’à démontrer que ˜
K = ad x ( ˜
K). Certainement, ad x conserve K puisque
K est associé à E. Il suffit donc de prouver qu’il existe γ ∈ ˜
K tel que ad x (γ) ∈ ˜
K.
On a rappelé en 1.5 que l’on pouvait choisir t ∈ T (o
nr ) et e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ) de
sorte que γ = te appartienne à ˜
K. On relève x en un élément y ∈ T (o
nr ) et on
écrit
xγx
−1 = yt ad e (y
−1 )e.
Les éléments yt et ad e (y
−1 ) sont dans T (o
nr ). Ainsi yt ad e (y
−1 ) ∈ T (o
nr ) et aussi
u = yt ad e (y
−1 )t
−1 . Ainsi
xγx
−1
∈ ute = uγ,
avec u ∈ T (o
nr ). Mais xγx
−1 et γ sont dans ˜
G(F ) donc u ∈ T (o
nr ) ∩ G(F ) =
T (o) ⊂ K. Ainsi xγx
−1
∈ ˜
K, ce qui est l’assertion cherchée.
VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré
Le corps de base est de nouveau notre corps de nombres. On considère un triplet
(G, ˜
G, a) défini sur F . Soit U un ensemble fini de places tel que, contrairement à
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Supposons que z (w) = 1. On fixe les choix précédents d’où en particulier
b(w) ∈ Z( ˆ
M SC ). On modifie z(w) en le remplaçant par z(w)b(w)
−1 ; ainsi z(w) ∈
ˆ
T
ˆ
θ,0 et a sc (w) = 1. Ainsi, avec (4), m sc (w) est dans le commutant de ζ sc ˆ
θ qui est
un groupe connexe et son image m(w)z(w) est dans la composante connexe du
commutant de ˜
ζ dans ˆ
M , c’est-à-dire ˆ
M
. Mais ˆ
M
contient ˆ
T
ˆ
θ,0 donc m(w) luimême est dans ˆ
M
. Puisque (m(w), w) ∈ M
, on a (1, w) ∈ M
et M
contient I F .
Réciproquement, supposons que (1, w) ∈ M
pour tout w ∈ I F . Alors on
peut prendre ci-dessus m(w) = 1. Il est alors clair que z (w) = 1 en reprenant la
construction rappelée ci-dessus de cet élément. Cela démontre (3).
On termine la preuve du (ii) de la proposition. Le groupe T
M
(o) agit par
conjugaison sur C
∞
c ( ˜
M (F )). Il s’en déduit une action sur I( ˜
M (F ), ω) et, par dualité, sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω). La propriété de transformation des facteurs de transfert
rappelée ci-dessus entraîne que, pour f ∈ C
∞
c ( ˜
M (F )), les transferts à M
de f et
de ω (x) ad x (f ) sont égaux. Par dualité, il en résulte que ω (x) ad x (transfert(δ)) =
transfert(δ). On va faire agir x par conjugaison mais pour que x agisse sur ˜
G(F ),
il faut commencer par relever x en un élément de G (F ), où G = G/Z(G)
θ . Pour
faire cela, posons T = T /Z(G)
θ . On commence par démontrer que l’application
T (o) → T
M
(o) est surjective : le conoyau s’injecte dans le groupe de cohomologie
H
1 (Gal(F
nr /F ); (Z(M )
θ /Z(G)
θ )(o
nr )), où F
nr est l’extension non ramifiée maximale de F et o
nr est son anneau d’entiers. Or Z(M )
θ /Z(G)
θ est un tore (donc
connexe) et ce groupe de cohomologie est nul par le théorème de Lang. On relève
donc x en un élément de T (o v ). Par simple transport de structure, on a l’égalité
r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(ad x (transfert(δ)), ad x ( ˜
K)).
Puisque transfert(δ) se transforme par un caractère non trivial de T
M
(o), il ne
reste plus qu’à démontrer que ˜
K = ad x ( ˜
K). Certainement, ad x conserve K puisque
K est associé à E. Il suffit donc de prouver qu’il existe γ ∈ ˜
K tel que ad x (γ) ∈ ˜
K.
On a rappelé en 1.5 que l’on pouvait choisir t ∈ T (o
nr ) et e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ) de
sorte que γ = te appartienne à ˜
K. On relève x en un élément y ∈ T (o
nr ) et on
écrit
xγx
−1 = yt ad e (y
−1 )e.
Les éléments yt et ad e (y
−1 ) sont dans T (o
nr ). Ainsi yt ad e (y
−1 ) ∈ T (o
nr ) et aussi
u = yt ad e (y
−1 )t
−1 . Ainsi
xγx
−1
∈ ute = uγ,
avec u ∈ T (o
nr ). Mais xγx
−1 et γ sont dans ˜
G(F ) donc u ∈ T (o
nr ) ∩ G(F ) =
T (o) ⊂ K. Ainsi xγx
−1
∈ ˜
K, ce qui est l’assertion cherchée.
VII.2.2 Version globale du lemme fondamental pondéré
Le corps de base est de nouveau notre corps de nombres. On considère un triplet
(G, ˜
G, a) défini sur F . Soit U un ensemble fini de places tel que, contrairement à