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Chapitre VII. Descente globale
Il reste à prouver (ii). On suppose donc que M
n’est pas non ramifiée. On
utilise la méthode d’Arthur qui se base sur un lemme de Kottwitz ([46] proposition 7.5) que l’on généralise à notre cas. Fixons une paire de Borel épinglée
E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G, définie sur F , telle que M soit standard pour E et que
le groupe K soit celui issu de E. On pose M = M/Z(M )
θ et T
M
= T /Z(M )
θ . On
rappelle (cf. [I] 2.7) que le groupe M (F ) opère par conjugaison sur ˜
M (F ). Si on
fixe des données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
, le facteur de transfert Δ 1 (δ 1 , γ)
se transforme, quand on conjugue γ par un élément de M (F ), par un caractère
ω de M (F ) qui prolonge le caractère ω de M (F ). Notons o l’anneau des entiers
de F . Montrons que
(3) le groupe d’inertie I F est inclus dans M
si et seulement si ω est trivial sur
T
M
(o), ce qui est encore équivalent à ce que le cocycle définissant ω soit
trivial sur I F .
On a une action galoisienne sur ˆ
M
. Pour w ∈ I F , fixons m w = (m(w), w) ∈
M
qui agisse sur ˆ
M
comme w. Le groupe I F est contenu dans M
exactement
quand m(w) ∈ ˆ
M
pour tout w ∈ I F , c’est-à-dire quand m(w) est dans la composante neutre du centralisateur de ˜
ζ dans ˆ
M .
La deuxième condition de (3) est équivalente à ce que la restriction de ω à
T
M
(F ) soit non ramifiée c’est-à-dire que tout cocycle définissant ce caractère soit
trivial sur I F . Un tel cocycle est à valeurs dans Z( ˆ
M ). Rappelons la construction
de la restriction à I F d’un tel cocycle. On suppose ˜
ζ = ζ ˆ
θ avec ζ ∈ ˆ
T , avec les
notations habituelles. Soient w ∈ I F et m w = (m(w), w) comme ci-dessus. Comme
pour tout élément de M
, on a la propriété de commutation suivante vis-à-vis de ˜
ζ :
ζ ˆ
θ(m(w))ζ
−1 = m(w)
puisque G et a sont non ramifiés. Le cocycle associé à ω est défini en relevant les
éléments intervenant ci-dessus dans le groupe dual de M et en fait, parce que le
groupe ˆ
M est plus difficile à analyser, on relève même dans un revêtement simplement connexe du groupe dérivé de ˆ
M noté ˆ
M SC . On fixe un élément z(w) ∈ Z( ˆ
M )
tel que m(w)z(w) soit l’image d’un élément m sc (w) ∈ ˆ
M SC . Quitte à changer la
donnée endoscopique en une donnée équivalente, on peut aussi relever ζ en un
élément ζ sc . Et on a une relation
(4)
ζ sc ˆ
θ(m sc (w))ζ
−1
sc = a sc (w)m sc (w),
avec un élément a sc (w) ∈ ˆ
M SC dont on vérifie aisément qu’il est dans le centre de
ce groupe. On note a (w) l’image de a sc (w) dans ˆ
M (par projection naturelle) et
on pose z (w) = a (w)z(w) ˆ
θ(z(w))
−1 . Par définition (cf. [I] 2.7), z est la restriction
à I F d’un cocycle définissant ω . En [I] 2.7 (suite exacte suivant la suite (2)), il
est montré que z (w) est l’élément neutre de Z( ˆ
M ) si et seulement s’il existe
b(w) ∈ Z( ˆ
M SC ) tel que z(w) ∈ b(w) ˆ
T
ˆ
θ,0 et a sc (w) = ˆ
θ(b(w))b(w)
−1 .
Chapitre VII. Descente globale
Il reste à prouver (ii). On suppose donc que M
n’est pas non ramifiée. On
utilise la méthode d’Arthur qui se base sur un lemme de Kottwitz ([46] proposition 7.5) que l’on généralise à notre cas. Fixons une paire de Borel épinglée
E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G, définie sur F , telle que M soit standard pour E et que
le groupe K soit celui issu de E. On pose M = M/Z(M )
θ et T
M
= T /Z(M )
θ . On
rappelle (cf. [I] 2.7) que le groupe M (F ) opère par conjugaison sur ˜
M (F ). Si on
fixe des données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
, le facteur de transfert Δ 1 (δ 1 , γ)
se transforme, quand on conjugue γ par un élément de M (F ), par un caractère
ω de M (F ) qui prolonge le caractère ω de M (F ). Notons o l’anneau des entiers
de F . Montrons que
(3) le groupe d’inertie I F est inclus dans M
si et seulement si ω est trivial sur
T
M
(o), ce qui est encore équivalent à ce que le cocycle définissant ω soit
trivial sur I F .
On a une action galoisienne sur ˆ
M
. Pour w ∈ I F , fixons m w = (m(w), w) ∈
M
qui agisse sur ˆ
M
comme w. Le groupe I F est contenu dans M
exactement
quand m(w) ∈ ˆ
M
pour tout w ∈ I F , c’est-à-dire quand m(w) est dans la composante neutre du centralisateur de ˜
ζ dans ˆ
M .
La deuxième condition de (3) est équivalente à ce que la restriction de ω à
T
M
(F ) soit non ramifiée c’est-à-dire que tout cocycle définissant ce caractère soit
trivial sur I F . Un tel cocycle est à valeurs dans Z( ˆ
M ). Rappelons la construction
de la restriction à I F d’un tel cocycle. On suppose ˜
ζ = ζ ˆ
θ avec ζ ∈ ˆ
T , avec les
notations habituelles. Soient w ∈ I F et m w = (m(w), w) comme ci-dessus. Comme
pour tout élément de M
, on a la propriété de commutation suivante vis-à-vis de ˜
ζ :
ζ ˆ
θ(m(w))ζ
−1 = m(w)
puisque G et a sont non ramifiés. Le cocycle associé à ω est défini en relevant les
éléments intervenant ci-dessus dans le groupe dual de M et en fait, parce que le
groupe ˆ
M est plus difficile à analyser, on relève même dans un revêtement simplement connexe du groupe dérivé de ˆ
M noté ˆ
M SC . On fixe un élément z(w) ∈ Z( ˆ
M )
tel que m(w)z(w) soit l’image d’un élément m sc (w) ∈ ˆ
M SC . Quitte à changer la
donnée endoscopique en une donnée équivalente, on peut aussi relever ζ en un
élément ζ sc . Et on a une relation
(4)
ζ sc ˆ
θ(m sc (w))ζ
−1
sc = a sc (w)m sc (w),
avec un élément a sc (w) ∈ ˆ
M SC dont on vérifie aisément qu’il est dans le centre de
ce groupe. On note a (w) l’image de a sc (w) dans ˆ
M (par projection naturelle) et
on pose z (w) = a (w)z(w) ˆ
θ(z(w))
−1 . Par définition (cf. [I] 2.7), z est la restriction
à I F d’un cocycle définissant ω . En [I] 2.7 (suite exacte suivant la suite (2)), il
est montré que z (w) est l’élément neutre de Z( ˆ
M ) si et seulement s’il existe
b(w) ∈ Z( ˆ
M SC ) tel que z(w) ∈ b(w) ˆ
T
ˆ
θ,0 et a sc (w) = ˆ
θ(b(w))b(w)
−1 .