VII.2. Formules de scindage
775
Expliquons la signification du dernier terme. Comme on l’a dit en [II] 4.2, pour
s intervenant dans cette somme, le choix d’un sous-espace hyperspécial ˜
K
(s) de
˜
G
(s; F ) permet de définir par récurrence un terme s
G
(s)
M
(δ, ˜
K
(s)). Mais l’espace ˜
K détermine un sous-espace ˜
K
(s) de ˜
G
(s; F ) bien défini à conjugaison
près par G
(s) AD (F ). La propriété (1) permet de noter s
G
(s)
M
(δ, ˜
K) le terme
s
G
(s)
M
(δ, ˜
K
(s)) pour un tel ˜
K
(s).
Revenons à un triplet (G, ˜
G, a) quelconque. Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une
donnée endoscopique de (M, ˜
M , a M ). Si M
est elliptique et non ramifiée (donc
relevante d’après le lemme [I] 6.2), on a défini en [II] 4.3 une forme linéaire
r
˜
G,E
˜
M
(M
, ., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M
) par l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))s
G
(˜ s)
M (δ, ˜
K).
Il convient de généraliser la définition au cas où M
est non ramifiée mais pas
elliptique. Dans ce cas, il existe un espace de Levi ˜
R de ˜
M tel que M
apparaisse
comme une donnée endoscopique elliptique et non ramifiée de (R, ˜
R, a R ). On peut
supposer R en bonne position relativement à K. Comme en [VI] 4.5, on pose alors
(2)
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)r
˜
L,E
˜
R
(M
, δ, ˜
K
˜
L ),
où ˜
K
˜
L = ˜
K ∩ ˜
L(F ).
Proposition. Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique relevante de
(M, ˜
M , a M ) et soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
). Alors
(i) si M
est non ramifiée, on a l’égalité r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K) = r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K) ;
(ii) si M
n’est pas non ramifiée, on a l’égalité r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K) = 0.
Preuve. Supposons que M
ne soit pas elliptique. Comme ci-dessus, on introduit
˜
R ⊂ ˜
M de sorte que M
soit une donnée elliptique pour (R, ˜
R, a R ). Remarquons que M
est non ramifiée pour (M, ˜
M , a M ) si et seulement si elle l’est pour
(R, ˜
R, a R ). Notons γ le transfert de δ à ˜
R(F ). Alors le transfert de δ à ˜
M (F ) est
l’induite γ
˜
M . On a la formule
r
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , ˜
K) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)r
˜
L
˜
R
(γ, ˜
K
˜
L ),
cf. [II] 4.1(1). Celle-ci et la formule parallèle (2) nous ramène à démontrer les
assertions de la proposition quand on remplace le couple ( ˜
G, ˜
M ) par un couple
( ˜
L, ˜
R). En oubliant cette construction, on est ramené au cas M
est une donnée
endoscopique elliptique de (M, ˜
M , a M ). L’assertion (i) est le lemme fondamental
pondéré, cf. [II] 4.4.
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Expliquons la signification du dernier terme. Comme on l’a dit en [II] 4.2, pour
s intervenant dans cette somme, le choix d’un sous-espace hyperspécial ˜
K
(s) de
˜
G
(s; F ) permet de définir par récurrence un terme s
G
(s)
M
(δ, ˜
K
(s)). Mais l’espace ˜
K détermine un sous-espace ˜
K
(s) de ˜
G
(s; F ) bien défini à conjugaison
près par G
(s) AD (F ). La propriété (1) permet de noter s
G
(s)
M
(δ, ˜
K) le terme
s
G
(s)
M
(δ, ˜
K
(s)) pour un tel ˜
K
(s).
Revenons à un triplet (G, ˜
G, a) quelconque. Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une
donnée endoscopique de (M, ˜
M , a M ). Si M
est elliptique et non ramifiée (donc
relevante d’après le lemme [I] 6.2), on a défini en [II] 4.3 une forme linéaire
r
˜
G,E
˜
M
(M
, ., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M
) par l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))s
G
(˜ s)
M (δ, ˜
K).
Il convient de généraliser la définition au cas où M
est non ramifiée mais pas
elliptique. Dans ce cas, il existe un espace de Levi ˜
R de ˜
M tel que M
apparaisse
comme une donnée endoscopique elliptique et non ramifiée de (R, ˜
R, a R ). On peut
supposer R en bonne position relativement à K. Comme en [VI] 4.5, on pose alors
(2)
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)r
˜
L,E
˜
R
(M
, δ, ˜
K
˜
L ),
où ˜
K
˜
L = ˜
K ∩ ˜
L(F ).
Proposition. Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique relevante de
(M, ˜
M , a M ) et soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
). Alors
(i) si M
est non ramifiée, on a l’égalité r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K) = r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, ˜
K) ;
(ii) si M
n’est pas non ramifiée, on a l’égalité r
˜
G
˜
M
(transfert(δ), ˜
K) = 0.
Preuve. Supposons que M
ne soit pas elliptique. Comme ci-dessus, on introduit
˜
R ⊂ ˜
M de sorte que M
soit une donnée elliptique pour (R, ˜
R, a R ). Remarquons que M
est non ramifiée pour (M, ˜
M , a M ) si et seulement si elle l’est pour
(R, ˜
R, a R ). Notons γ le transfert de δ à ˜
R(F ). Alors le transfert de δ à ˜
M (F ) est
l’induite γ
˜
M . On a la formule
r
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , ˜
K) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)r
˜
L
˜
R
(γ, ˜
K
˜
L ),
cf. [II] 4.1(1). Celle-ci et la formule parallèle (2) nous ramène à démontrer les
assertions de la proposition quand on remplace le couple ( ˜
G, ˜
M ) par un couple
( ˜
L, ˜
R). En oubliant cette construction, on est ramené au cas M
est une donnée
endoscopique elliptique de (M, ˜
M , a M ). L’assertion (i) est le lemme fondamental
pondéré, cf. [II] 4.4.