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Chapitre VII. Descente globale
Puis
A
˜
G,E (V, O V , ω) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),
X →XV
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)
X
∈Stab( ˜
G
(F )),
X
→X
transfert(SA
G
(V, X
)).
La double somme intérieure est par définition égale à A
˜
G,E (V, X , ω). On obtient (ii).
La preuve de (iii) est analogue. Par définition, on a cette fois
SA
˜
G (V, O V ) = A
˜
G (V, O V ) −
G
∈E( ˜
G,V ),
G
=G
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )).
On connaît (i) pour le premier terme de droite et (iii) par récurrence pour les
autres termes. Par le même calcul, on en déduit (iii) pour le terme de gauche.
VII.2 Formules de scindage
VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré
Par exception, dans ce paragraphe, F est un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. On note p sa caractéristique résiduelle. On considère un triplet
(G, ˜
G, a) défini sur F qui est «non ramifié». Précisément, comme en [VI] 1.1, on
suppose que G et a sont non ramifiés, que ˜
G(F ) possède un sous-espace hyperspécial et que, en posant e = [F : Q p ], on a p > 5 et p > N(G)e+1, où N (G) est défini
en [79] 4.3. On fixe un espace hyperspécial ˜
K, de groupe associé K. Soit ˜
M un
espace de Levi de ˜
G tel que le Levi M associé soit en bonne position relativement
à K. On munit G(F ) de la mesure canonique pour laquelle K est de masse totale
1. On a défini en [II] 4.1 une forme linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) : on a
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
K ),
où 1 ˜
K est la fonction caractéristique de ˜
K. Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasidéployé et à torsion intérieure, on a défini en [II] 4.2 un avatar stable de cette
forme linéaire. Ici, il n’est plus besoin de supposer que ˜
M est en bonne position relativement à ˜
K. L’avatar stable est une forme linéaire s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D
st
g´ eom ( ˜
M (F )).
Elle vérifie
(1) s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) ne dépend que de la classe de conjugaison de ˜
K par G AD (F ).
Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )), on a la formule familière
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))s
G
(s)
M
(δ, ˜
K).
Chapitre VII. Descente globale
Puis
A
˜
G,E (V, O V , ω) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),
X →XV
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)
X
∈Stab( ˜
G
(F )),
X
→X
transfert(SA
G
(V, X
)).
La double somme intérieure est par définition égale à A
˜
G,E (V, X , ω). On obtient (ii).
La preuve de (iii) est analogue. Par définition, on a cette fois
SA
˜
G (V, O V ) = A
˜
G (V, O V ) −
G
∈E( ˜
G,V ),
G
=G
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )).
On connaît (i) pour le premier terme de droite et (iii) par récurrence pour les
autres termes. Par le même calcul, on en déduit (iii) pour le terme de gauche.
VII.2 Formules de scindage
VII.2.1 Complément sur le lemme fondamental pondéré
Par exception, dans ce paragraphe, F est un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. On note p sa caractéristique résiduelle. On considère un triplet
(G, ˜
G, a) défini sur F qui est «non ramifié». Précisément, comme en [VI] 1.1, on
suppose que G et a sont non ramifiés, que ˜
G(F ) possède un sous-espace hyperspécial et que, en posant e = [F : Q p ], on a p > 5 et p > N(G)e+1, où N (G) est défini
en [79] 4.3. On fixe un espace hyperspécial ˜
K, de groupe associé K. Soit ˜
M un
espace de Levi de ˜
G tel que le Levi M associé soit en bonne position relativement
à K. On munit G(F ) de la mesure canonique pour laquelle K est de masse totale
1. On a défini en [II] 4.1 une forme linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) : on a
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
K ),
où 1 ˜
K est la fonction caractéristique de ˜
K. Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasidéployé et à torsion intérieure, on a défini en [II] 4.2 un avatar stable de cette
forme linéaire. Ici, il n’est plus besoin de supposer que ˜
M est en bonne position relativement à ˜
K. L’avatar stable est une forme linéaire s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D
st
g´ eom ( ˜
M (F )).
Elle vérifie
(1) s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) ne dépend que de la classe de conjugaison de ˜
K par G AD (F ).
Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )), on a la formule familière
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))s
G
(s)
M
(δ, ˜
K).