VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
773
Preuve. Les deux côtés de l’égalité (i) sont des sommes de A
˜
G (V, C, ω), où C ∈
˜
G ss (F )/ conj. Du côté gauche, on somme sur les C dont la classe localisée C V est
contenue dans O V . Du côté droit, on somme sur les C contenus dans une classe
de conjugaison stable O dont le paramètre X s’envoie par localisation sur X V .
La commutativité du diagramme de 1.4 entraîne que ces ensembles de sommation
sont les mêmes. D’où (i).
Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, les termes intervenant
dans (ii) sont identiques par définition aux mêmes termes où l’on supprime l’exposant E. L’assertion (ii) n’est alors autre que (i). Supposons maintenant que
(G, ˜
G, a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. Par définition
A
˜
G,E (V, O V , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )).
Fixons G
. Rappelons que O V, ˜
G est la réunion des O
V ∈ ˜
G
ss (F V )/ st-conj qui
correspondent à O V . Le lemme 1.8 nous dit que cet ensemble de classes est égal à
celui des classes O
V qui vérifient les deux conditions suivantes :
– elles correspondent à une classe dans ˜
G ss (F V )/ st-conj ;
– leur paramètre X
V s’envoie sur X V par la version locale de l’application 1.7(1)
(ce que l’on note X
V → X ).
On se rappelle que SA
G
(V, O
V ) est à support dans l’ensemble des éléments
dont la partie semi-simple appartient à O
V , cf. [VI] 5.2. Si O
V ne correspond à
aucune classe dans ˜
G ss (F V ), le transfert de SA
G
(V, O
V ) est donc nul. On peut
donc aussi bien supprimer la première condition ci-dessus :
transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )) =
X
V →XV
transfert(SA
G
(V, O
V )),
où O
V est l’unique élément paramétré par X
V . Modulo les formalités habituelles,
on peut appliquer (iii) aux termes du membre de droite. On obtient
transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )) =
X
V →XV
transfert
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
∈Stab( ˜
G
(F )),
X
→X
V
SA
G
(V, X
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
La localisation commute à l’application 1.7(1). Sommer en X
V → X V puis X
→
X
V revient à sommer sur les X ∈ Stab( ˜
G(F )) tels que X → X V puis sur les X
tels que X
→ X . Donc
transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),
X →XV
X
∈Stab( ˜
G
(F )),
X
→X
transfert(SA
G
(V, X
)).
773
Preuve. Les deux côtés de l’égalité (i) sont des sommes de A
˜
G (V, C, ω), où C ∈
˜
G ss (F )/ conj. Du côté gauche, on somme sur les C dont la classe localisée C V est
contenue dans O V . Du côté droit, on somme sur les C contenus dans une classe
de conjugaison stable O dont le paramètre X s’envoie par localisation sur X V .
La commutativité du diagramme de 1.4 entraîne que ces ensembles de sommation
sont les mêmes. D’où (i).
Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, les termes intervenant
dans (ii) sont identiques par définition aux mêmes termes où l’on supprime l’exposant E. L’assertion (ii) n’est alors autre que (i). Supposons maintenant que
(G, ˜
G, a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. Par définition
A
˜
G,E (V, O V , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )).
Fixons G
. Rappelons que O V, ˜
G est la réunion des O
V ∈ ˜
G
ss (F V )/ st-conj qui
correspondent à O V . Le lemme 1.8 nous dit que cet ensemble de classes est égal à
celui des classes O
V qui vérifient les deux conditions suivantes :
– elles correspondent à une classe dans ˜
G ss (F V )/ st-conj ;
– leur paramètre X
V s’envoie sur X V par la version locale de l’application 1.7(1)
(ce que l’on note X
V → X ).
On se rappelle que SA
G
(V, O
V ) est à support dans l’ensemble des éléments
dont la partie semi-simple appartient à O
V , cf. [VI] 5.2. Si O
V ne correspond à
aucune classe dans ˜
G ss (F V ), le transfert de SA
G
(V, O
V ) est donc nul. On peut
donc aussi bien supprimer la première condition ci-dessus :
transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )) =
X
V →XV
transfert(SA
G
(V, O
V )),
où O
V est l’unique élément paramétré par X
V . Modulo les formalités habituelles,
on peut appliquer (iii) aux termes du membre de droite. On obtient
transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )) =
X
V →XV
transfert
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
∈Stab( ˜
G
(F )),
X
→X
V
SA
G
(V, X
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
La localisation commute à l’application 1.7(1). Sommer en X
V → X V puis X
→
X
V revient à sommer sur les X ∈ Stab( ˜
G(F )) tels que X → X V puis sur les X
tels que X
→ X . Donc
transfert(SA
G
(V, O V, ˜
G )) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),
X →XV
X
∈Stab( ˜
G
(F )),
X
→X
transfert(SA
G
(V, X
)).