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Chapitre VII. Descente globale
la formule (2) se simplifie en
(4)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
unip,λ1 (V ), f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(FV )
I
˜
G1 (A
˜
G1
unip (V ), φ
cV
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
La formule (5) se simplifie de même en
(5)
I
˜
G
λ1 (SA
˜
G1
unip,λ1 (V ), f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(FV )
I
˜
G1 (SA
˜
G1
unip (V ), φ
cV
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
Autrement dit, la distribution A
˜
G1
unip,λ1 (V )dg, qui appartient à D unip,λ1 ( ˜
G
1 (F V ))
est l’image de l’élément mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 A
˜
G1
unip (V )dg 1 de D unip ( ˜
G
1 (F V ))
par l’application définie en [II] 1.10(3). De même, SA
˜
G1
unip,λ1 (V )dg est l’image de
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 SA
˜
G1
unip (V )dg 1 .
VII.1.12 Relation avec les distributions associées aux classes
de conjugaison stable locales
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram . Soit O V ∈ ˜
G ss (F V )/ st-conj.
Posons X V = χ
˜
GV (O V ). Pour X ∈ Stab( ˜
G(F )), on note simplement X → X V la
relation : X V est l’image de X par localisation. Les distributions des membres de
gauche des égalités de l’énoncé ci-dessous ont été définies en [VI] 2.3, 5.2 et 5.4.
Proposition.
(i) On a l’égalité
A
˜
G (V, O V , ω) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),X →XV
A
˜
G (V, X , ω).
(ii) On a l’égalité
A
˜
G,E (V, O V , ω) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),X →XV
A
˜
G,E (V, X , ω).
(iii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors on a l’égalité
SA
˜
G (V, O V ) =
X ∈Stab( ˜
G(F )),X →XV
SA
˜
G (V, X ).