VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
771
que les distributions définies en 1.9 et 1.10 dépendent de l’espace ˜
K
V =
v ∈V
˜
K v ,
bien que l’on n’ait pas fait figurer cet espace dans la notation. Dans les formules
qui suivent, on insère si besoin est cet espace dans la notation, de façon que l’on
espère compréhensible.
Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). Soit f ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )). On fixe une fonction φ ∈
C
∞
c ( ˜
G 1 (F V )) de sorte que
f =
C1(FV )
φ
c λ 1 (c) dc.
La formule [VI] 2.5(14) donne immédiatement la variante A
˜
G1
λ1 (V, X ) de la distribution définie en 1.9 sous la forme
(2)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
λ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
X1∈Fib(X )
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc,
où Fib(X ) est la fibre de l’application (1) au-dessus de X .
On obtient par récurrence une formule analogue pour la variante SA
˜
G1
λ1 (V, X )
de la distribution définie en 1.10 :
(3)
I
˜
G1
λ1 (SA
˜
G1
λ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
X1∈Fib(X )
I
˜
G1 (SA
˜
G1 (V, X 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
Considérons le cas particulier où ˜
G = G, ˜
G 1 = G 1 , ˜
K v = K v et ˜
K 1,v = K 1,v
pour tout v ∈ V et où X correspond à la classe de conjugaison stable de l’élément
neutre. Comme toujours, on remplace dans la notation la lettre X par un indice
unip : A
˜
G
unip (V ) au lieu de A
˜
G (V, X ) etc. . . La fibre Fib(X ) est alors l’ensemble
{ξX 1 ; ξ ∈ C 1 (F )}, où X 1 correspond à la classe de conjugaison stable de l’unité
dans G 1 (F ). D’après [VI] 2.4(7), on a l’égalité :
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, ξX 1 , ξ
V c
V K
V
1 ), φ
ξV cV
⊗ dg 1 )
= I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , c
V K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 ).
Puisque de plus
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , c
V K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 )
=
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 ), si c
V
∈ K
V
C1 ,
0,
sinon,
771
que les distributions définies en 1.9 et 1.10 dépendent de l’espace ˜
K
V =
v ∈V
˜
K v ,
bien que l’on n’ait pas fait figurer cet espace dans la notation. Dans les formules
qui suivent, on insère si besoin est cet espace dans la notation, de façon que l’on
espère compréhensible.
Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). Soit f ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )). On fixe une fonction φ ∈
C
∞
c ( ˜
G 1 (F V )) de sorte que
f =
C1(FV )
φ
c λ 1 (c) dc.
La formule [VI] 2.5(14) donne immédiatement la variante A
˜
G1
λ1 (V, X ) de la distribution définie en 1.9 sous la forme
(2)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
λ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
X1∈Fib(X )
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc,
où Fib(X ) est la fibre de l’application (1) au-dessus de X .
On obtient par récurrence une formule analogue pour la variante SA
˜
G1
λ1 (V, X )
de la distribution définie en 1.10 :
(3)
I
˜
G1
λ1 (SA
˜
G1
λ1 (V, X ), f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
X1∈Fib(X )
I
˜
G1 (SA
˜
G1 (V, X 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
Considérons le cas particulier où ˜
G = G, ˜
G 1 = G 1 , ˜
K v = K v et ˜
K 1,v = K 1,v
pour tout v ∈ V et où X correspond à la classe de conjugaison stable de l’élément
neutre. Comme toujours, on remplace dans la notation la lettre X par un indice
unip : A
˜
G
unip (V ) au lieu de A
˜
G (V, X ) etc. . . La fibre Fib(X ) est alors l’ensemble
{ξX 1 ; ξ ∈ C 1 (F )}, où X 1 correspond à la classe de conjugaison stable de l’unité
dans G 1 (F ). D’après [VI] 2.4(7), on a l’égalité :
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, ξX 1 , ξ
V c
V K
V
1 ), φ
ξV cV
⊗ dg 1 )
= I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , c
V K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 ).
Puisque de plus
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , c
V K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 )
=
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, X 1 , K
V
1 ), φ
cV
⊗ dg 1 ), si c
V
∈ K
V
C1 ,
0,
sinon,