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Chapitre VII. Descente globale
Le théorème (ii) sera prouvé dans ce chapitre, cf. 3.4. Dans ce chapitre, nous
prouverons le théorème (i) sauf pour des triplets (G, ˜
G, a) particuliers. Pour ceuxci, le théorème sera prouvé sauf pour des X exceptionnels, qui sont en nombre
fini. On renvoie à 3.5 pour des assertions précises. Pour ces X exceptionnels, le
théorème (i) sera prouvé en même temps que le théorème [VI] 5.4, cf. 3.6. Ce
dernier théorème sera prouvé en [X] 8.5.
VII.1.11 Formules dans la situation avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnés une
extension
1 → C 1 → G 1 → G
où C 1 est un tore central induit, une extension compatible ˜
G 1 → ˜
G où ˜
G 1 est
encore à torsion intérieure et un caractère automorphe λ 1 de C 1 (A F ). On a défini
l’ensemble de places V 1,ram en [VI] 1.15. Pour v ∈ V 1,ram , on fixe un espace hyperspécial ˜
K 1,v ⊂ ˜
G 1 (F v ) au-dessus de ˜
K v . On impose la condition de compatibilité
globale habituelle : pour γ 1 ∈ ˜
G 1 (F ), on a γ 1 ∈ ˜
K 1,v pour presque tout v. On a
une suite exacte
0 → A C1 → A G1 → A G → 0 .
On a fixé en [VI] 1.3 une mesure de Haar sur A G . On en fixe sur les deux autres
groupes de sorte que la suite soit compatible aux mesures.
Introduisons les paires de Borel épinglées de G et G 1 , dont on note les tores
T
∗ et T
∗
1 . On a des applications naturelles T
∗
1 → T
∗ et Z( ˜
G 1 ) → Z( ˜
G). On en
déduit une application
T
∗
1 × Z(G1) Z( ˜
G 1 ) → T
∗
× Z(G) Z( ˜
G)
μ 1
→
μ
dont les fibres sont isomorphes à C 1 .
D’où une application Stab( ˜
G 1 (F )) → Stab( ˜
G(F )), qui, à (μ 1 , ω ¯
G ), associe
(μ, ω ¯
G ). Elle se quotiente en une application
(1)
Stab( ˜
G 1 (F )) → Stab( ˜
G(F )).
Celle-ci traduit simplement l’application de projection
˜
G 1,ss (F )/ st-conj → ˜
G ss (F )/ st-conj .
Remarquons que les fibres de cette application ne sont pas isomorphes à C 1 (F )
en général, deux éléments de Stab( ˜
G 1 (F )) de la forme (μ 1 , ω ¯
G ) et (cμ 1 , ω ¯
G ), avec
c ∈ C 1 (F ), c = 1, pouvant avoir la même image dans Stab( ˜
G 1 (F )).
Soit V un ensemble fini de places contenant V 1,ram . Fixons des mesures dg sur
G(A F ) et dc sur C 1 (A F ), dont on déduit une mesure dg 1 sur G 1 (A F ). On identifie
ces mesures à des mesures sur G(F V ), C 1 (F V ) et G 1 (F V ), cf. [VI] 1.1. On rappelle
Chapitre VII. Descente globale
Le théorème (ii) sera prouvé dans ce chapitre, cf. 3.4. Dans ce chapitre, nous
prouverons le théorème (i) sauf pour des triplets (G, ˜
G, a) particuliers. Pour ceuxci, le théorème sera prouvé sauf pour des X exceptionnels, qui sont en nombre
fini. On renvoie à 3.5 pour des assertions précises. Pour ces X exceptionnels, le
théorème (i) sera prouvé en même temps que le théorème [VI] 5.4, cf. 3.6. Ce
dernier théorème sera prouvé en [X] 8.5.
VII.1.11 Formules dans la situation avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnés une
extension
1 → C 1 → G 1 → G
où C 1 est un tore central induit, une extension compatible ˜
G 1 → ˜
G où ˜
G 1 est
encore à torsion intérieure et un caractère automorphe λ 1 de C 1 (A F ). On a défini
l’ensemble de places V 1,ram en [VI] 1.15. Pour v ∈ V 1,ram , on fixe un espace hyperspécial ˜
K 1,v ⊂ ˜
G 1 (F v ) au-dessus de ˜
K v . On impose la condition de compatibilité
globale habituelle : pour γ 1 ∈ ˜
G 1 (F ), on a γ 1 ∈ ˜
K 1,v pour presque tout v. On a
une suite exacte
0 → A C1 → A G1 → A G → 0 .
On a fixé en [VI] 1.3 une mesure de Haar sur A G . On en fixe sur les deux autres
groupes de sorte que la suite soit compatible aux mesures.
Introduisons les paires de Borel épinglées de G et G 1 , dont on note les tores
T
∗ et T
∗
1 . On a des applications naturelles T
∗
1 → T
∗ et Z( ˜
G 1 ) → Z( ˜
G). On en
déduit une application
T
∗
1 × Z(G1) Z( ˜
G 1 ) → T
∗
× Z(G) Z( ˜
G)
μ 1
→
μ
dont les fibres sont isomorphes à C 1 .
D’où une application Stab( ˜
G 1 (F )) → Stab( ˜
G(F )), qui, à (μ 1 , ω ¯
G ), associe
(μ, ω ¯
G ). Elle se quotiente en une application
(1)
Stab( ˜
G 1 (F )) → Stab( ˜
G(F )).
Celle-ci traduit simplement l’application de projection
˜
G 1,ss (F )/ st-conj → ˜
G ss (F )/ st-conj .
Remarquons que les fibres de cette application ne sont pas isomorphes à C 1 (F )
en général, deux éléments de Stab( ˜
G 1 (F )) de la forme (μ 1 , ω ¯
G ) et (cμ 1 , ω ¯
G ), avec
c ∈ C 1 (F ), c = 1, pouvant avoir la même image dans Stab( ˜
G 1 (F )).
Soit V un ensemble fini de places contenant V 1,ram . Fixons des mesures dg sur
G(A F ) et dc sur C 1 (A F ), dont on déduit une mesure dg 1 sur G 1 (A F ). On identifie
ces mesures à des mesures sur G(F V ), C 1 (F V ) et G 1 (F V ), cf. [VI] 1.1. On rappelle