VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
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distribution SA
˜
G (V, X ) ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ . Comme toujours, on a
besoin de supposer par récurrence que cette distribution vérifie certaines propriétés. Il y a des propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions
dans la situation habituelle, cf. [VI] 1.15. Ce sont les mêmes que dans cette référence et on les abandonne au lecteur. On donnera toutefois dans le paragraphe
suivant des formules plus explicites dans la situation «avec caractère central».
Comme en [VI] 5.2(1), il y a une condition concernant les espaces hyperspéciaux
˜
K v pour v ∈ V . La définition fournit une distribution qui dépend de ces espaces.
On doit savoir que
(1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v pour
v ∈ V .
Surtout, on doit supposer par récurrence que cette distribution SA
˜
G (V, X )
est stable. Modulo ces hypothèses, soit G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique
de (G, ˜
G, a) relevante et non ramifiée hors de V , avec dim(G
SC ) < dim(G SC ).
Soit X
∈ Stab( ˜
G
(F )). Alors on peut définir SA
G
(V, X
) ∈ D
st
g´ eom (G
V ) ⊗
Mes(G
(F V ))
∗ . On pose (avec les notations de [VI] 5.1) :
(2)
SA
˜
G (V, X ) = A
˜
G (V, X ) −
G ∈E( ˜
G,V ),G =G
X ∈Stab( ˜
G (F )),X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)),
où on a noté X
→ X l’application (1) de 1.7.
On revient au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Pour X ∈ Stab( ˜
G(F )), on
pose
(3)
A
˜
G,E (V, X , ω)
=
G ∈E( ˜
G,a,V )
X ∈Stab( ˜
G (F )),X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
Remarque. Comme souvent, le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion
intérieure est un peu particulier. Dans ce cas, les hypothèses de récurrence ne
s’appliquent pas à la donnée endoscopique principale G. Il convient de remplacer
le terme transfert(SA
G (V, X )) intervenant dans la somme par SA
˜
G (V, X ). On a
alors A
˜
G,E (V, X ) = A
˜
G (V, X ) par définition de ce terme SA
˜
G (V, X ).
Théorème (i) (à prouver). Pour tout X ∈ Stab( ˜
G(F )), on a l’égalité
A
˜
G,E (V, X , ω) = A
˜
G (V, X , ω).
Théorème (ii). Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors,
pour tout X ∈ Stab( ˜
G(F )), SA
˜
G (V, X ) est stable et vérifie (1).
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distribution SA
˜
G (V, X ) ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ . Comme toujours, on a
besoin de supposer par récurrence que cette distribution vérifie certaines propriétés. Il y a des propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions
dans la situation habituelle, cf. [VI] 1.15. Ce sont les mêmes que dans cette référence et on les abandonne au lecteur. On donnera toutefois dans le paragraphe
suivant des formules plus explicites dans la situation «avec caractère central».
Comme en [VI] 5.2(1), il y a une condition concernant les espaces hyperspéciaux
˜
K v pour v ∈ V . La définition fournit une distribution qui dépend de ces espaces.
On doit savoir que
(1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v pour
v ∈ V .
Surtout, on doit supposer par récurrence que cette distribution SA
˜
G (V, X )
est stable. Modulo ces hypothèses, soit G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique
de (G, ˜
G, a) relevante et non ramifiée hors de V , avec dim(G
SC ) < dim(G SC ).
Soit X
∈ Stab( ˜
G
(F )). Alors on peut définir SA
G
(V, X
) ∈ D
st
g´ eom (G
V ) ⊗
Mes(G
(F V ))
∗ . On pose (avec les notations de [VI] 5.1) :
(2)
SA
˜
G (V, X ) = A
˜
G (V, X ) −
G ∈E( ˜
G,V ),G =G
X ∈Stab( ˜
G (F )),X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)),
où on a noté X
→ X l’application (1) de 1.7.
On revient au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Pour X ∈ Stab( ˜
G(F )), on
pose
(3)
A
˜
G,E (V, X , ω)
=
G ∈E( ˜
G,a,V )
X ∈Stab( ˜
G (F )),X →X
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, X
)).
Remarque. Comme souvent, le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion
intérieure est un peu particulier. Dans ce cas, les hypothèses de récurrence ne
s’appliquent pas à la donnée endoscopique principale G. Il convient de remplacer
le terme transfert(SA
G (V, X )) intervenant dans la somme par SA
˜
G (V, X ). On a
alors A
˜
G,E (V, X ) = A
˜
G (V, X ) par définition de ce terme SA
˜
G (V, X ).
Théorème (i) (à prouver). Pour tout X ∈ Stab( ˜
G(F )), on a l’égalité
A
˜
G,E (V, X , ω) = A
˜
G (V, X , ω).
Théorème (ii). Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Alors,
pour tout X ∈ Stab( ˜
G(F )), SA
˜
G (V, X ) est stable et vérifie (1).