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Chapitre VII. Descente globale
A
˜
G (V, C, ω) en [VI] 2.3. On pose
A
˜
G (V, X , ω) =
C∈ ˜
Gss(F )/ conj,C⊂O
A
˜
G (V, C, ω).
Les termes de cette somme sont presque tous nuls. En effet, pour tout v ∈ V ,
la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F v ) engendrée par O se décompose en un
nombre fini de classes de conjugaison par G(F v ). Il existe donc un sous-ensemble
fini ˜
U V de ˜
G(F V ) tel que, pour tout η ∈ O, la classe de conjugaison par G(F V ) de
η coupe ˜
U V . De plus, un terme A
˜
G (V, C, ω) n’est non nul que si, pour tout v ∈ V ,
la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par C coupe ˜
K v , cf. [VI] 2.3(6). Le
lemme [VI] 2.1 entraîne la finitude affirmée.
On a
(1) si S(X , ˜
K) − S(X ) ⊂ V , alors A
˜
G (V, X , ω) = 0.
C’est clair si X n’est pas dans l’image de χ
˜
G . Si X = χ
˜
G (O), considérons
une place v ∈ S(X , ˜
K) − S(X ) qui n’appartient pas à V . En v, les conditions
(nr1) et (nr2) sont vérifiées, mais au moins une des conditions (nr3) ou (nr4) ne
l’est pas. Le lemme 1.6(ii) nous dit qu’il n’existe aucune classe C ⊂ O telle que la
classe engendrée par C dans ˜
G(F v ) coupe ˜
K v . Toutes les distributions A
˜
G (V, C, ω)
intervenant sont donc nulles.
On a
(2) si S(X ) ⊂ V et si X n’est pas elliptique, alors A
˜
G (V, X , ω) = 0.
Pour toute classe C ⊂ O, on a S(X ) = S(C) et l’hypothèse que X n’est pas
elliptique entraîne que C ne l’est pas non plus. D’après la définition de [VI] 2.3, on
a alors A
˜
G (V, C, ω) = 0.
En 1.1 et 1.2 on a associé à X un groupe ¯
G et un caractère automorphe de
¯
G(A F ). Le couple formé de ce groupe et de ce caractère n’est défini qu’à isomorphisme près mais la condition que la restriction du caractère à Z( ¯
G; A F ) est triviale
est insensible à un tel isomorphisme. Par abus de langage, nous la formulerons :
la restriction de ω à Z( ¯
G; A F ) est triviale. On a
(3) si les restrictions de ω à Z(G; A F )
θ et à Z( ¯
G; A F ) ne sont pas toutes deux
triviales, alors A
˜
G (V, X , ω) = 0.
En effet, soient C ⊂ O et ˙
γ ∈ C. Alors la restriction de ω à Z( ¯
G; A F ) est
triviale si et seulement si la restriction de ω à Z(G ˙
γ ; A F ) est triviale. L’assertion
résulte alors de [VI] proposition 2.3(iv).
VII.1.10 Distributions stables et endoscopiques associées
à un paramètre
On fixe un ensemble fini V de places de F contenant V ram . Supposons (G, ˜
G, a)
quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). On va définir une
Chapitre VII. Descente globale
A
˜
G (V, C, ω) en [VI] 2.3. On pose
A
˜
G (V, X , ω) =
C∈ ˜
Gss(F )/ conj,C⊂O
A
˜
G (V, C, ω).
Les termes de cette somme sont presque tous nuls. En effet, pour tout v ∈ V ,
la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F v ) engendrée par O se décompose en un
nombre fini de classes de conjugaison par G(F v ). Il existe donc un sous-ensemble
fini ˜
U V de ˜
G(F V ) tel que, pour tout η ∈ O, la classe de conjugaison par G(F V ) de
η coupe ˜
U V . De plus, un terme A
˜
G (V, C, ω) n’est non nul que si, pour tout v ∈ V ,
la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par C coupe ˜
K v , cf. [VI] 2.3(6). Le
lemme [VI] 2.1 entraîne la finitude affirmée.
On a
(1) si S(X , ˜
K) − S(X ) ⊂ V , alors A
˜
G (V, X , ω) = 0.
C’est clair si X n’est pas dans l’image de χ
˜
G . Si X = χ
˜
G (O), considérons
une place v ∈ S(X , ˜
K) − S(X ) qui n’appartient pas à V . En v, les conditions
(nr1) et (nr2) sont vérifiées, mais au moins une des conditions (nr3) ou (nr4) ne
l’est pas. Le lemme 1.6(ii) nous dit qu’il n’existe aucune classe C ⊂ O telle que la
classe engendrée par C dans ˜
G(F v ) coupe ˜
K v . Toutes les distributions A
˜
G (V, C, ω)
intervenant sont donc nulles.
On a
(2) si S(X ) ⊂ V et si X n’est pas elliptique, alors A
˜
G (V, X , ω) = 0.
Pour toute classe C ⊂ O, on a S(X ) = S(C) et l’hypothèse que X n’est pas
elliptique entraîne que C ne l’est pas non plus. D’après la définition de [VI] 2.3, on
a alors A
˜
G (V, C, ω) = 0.
En 1.1 et 1.2 on a associé à X un groupe ¯
G et un caractère automorphe de
¯
G(A F ). Le couple formé de ce groupe et de ce caractère n’est défini qu’à isomorphisme près mais la condition que la restriction du caractère à Z( ¯
G; A F ) est triviale
est insensible à un tel isomorphisme. Par abus de langage, nous la formulerons :
la restriction de ω à Z( ¯
G; A F ) est triviale. On a
(3) si les restrictions de ω à Z(G; A F )
θ et à Z( ¯
G; A F ) ne sont pas toutes deux
triviales, alors A
˜
G (V, X , ω) = 0.
En effet, soient C ⊂ O et ˙
γ ∈ C. Alors la restriction de ω à Z( ¯
G; A F ) est
triviale si et seulement si la restriction de ω à Z(G ˙
γ ; A F ) est triviale. L’assertion
résulte alors de [VI] proposition 2.3(iv).
VII.1.10 Distributions stables et endoscopiques associées
à un paramètre
On fixe un ensemble fini V de places de F contenant V ram . Supposons (G, ˜
G, a)
quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). On va définir une