VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
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soit définie sur F v . D’après le lemme 1.6(i), X est l’image par χ
˜
Gv d’une classe
O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj et on peut choisir un élément η ∈ O tel que G η soit quasidéployé. On choisit une paire de Borel (B , T ) de G conservée par ad η et telle
que (B ∩ G η , T ∩ G η ) soit définie sur F v . A l’aide des paires (B
, T
) et (B , T ),
on construit les couples (μ , ω ) et (μ η , ω η ) comme en 1.2. De (μ , ω ) se déduit
comme en 1.7 un élément de Stab( ˜
G(F v )). L’hypothèse que X est l’image de X
signifie que cet élément est conjugué à (μ η , ω η ). En appliquant 1.2(3), on voit
que l’on peut remplacer la paire (B , T ) par une autre qui possède les mêmes
propriétés que ci-dessus, de sorte qu’après ce remplacement, le couple (μ η , ω η ) soit
égal à celui déduit de (μ , ω ). On complète les paires (B
, T
) et (B , T ) en des
paires de Borel épinglées E
et E . Ecrivons η = ν e avec ν ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E )
et = ν
e
, où ν
∈ T
et e
∈ Z( ˜
G
, E
) est l’image de e . On a l’homomorphisme
usuel ξ T,T : T → T
. On voit que l’égalité des couples ci-dessus signifie que
ξ T,T (ν ) = ν
et qu’il existe un cocycle σ → ω ¯
H (σ) de Γ Fv dans W
Gη de sorte
que l’on ait la relation σ G ◦ ξ T,T = ξ T,T ◦ ω ¯
H (σ) ◦ σ G . Parce que G η est quasidéployé, on peut appliquer [44] corollaire 2.2 : on peut fixer g ∈ G η,SC de sorte
que le tore T = ad g −1 (T ) soit défini sur F v et que, pour tout σ ∈ Γ Fv , l’élément
gσ(g)
−1 normalise T et ait ω ¯
H (σ) pour image dans W
Gη . Posons E = ad g −1 (E ).
Son tore sous-jacent est T et on note B le sous-groupe de Borel sous-jacent. Parce
que ad g fixe η, on a l’égalité η = νe, où ν = ad g −1 (ν ) et e = ad g −1 (e ). On a
aussi ξ T,T = ξ T,T ◦ ad g . On vérifie alors que ξ T,T (ν) = ν
et que l’on a l’égalité
σ G ◦ ξ T,T = ξ T,T ◦ σ pour tout σ ∈ Γ Fv . Mais cela signifie que (, B
, T
, B, T, η)
est un diagramme. Donc O correspond à O
. Cela prouve la première assertion de
(ii). La seconde résulte de (i).
VII.1.9 Distributions associées à un paramètre
Soit X ∈Stab( ˜
G(F )). On peut représenter X par un élément (μ,ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F ))
et relever μ en (ν, ¯
e), avec ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G). On considère les conditions
(nr1),. . .,(nr4) de 1.6 pour une place v ∈ Val(F ) − V ram . Il est clair que chacune
d’elles est vérifiée sauf pour un ensemble fini de places. On note S(X ) le plus petit
ensemble de places contenant V ram tel que (nr1) et (nr2) soient vérifiées hors de
S(X ). On note S(X , ˜
K) le plus petit ensemble de places contenant V ram tel que
les conditions (nr1), (nr2), (nr3) et (nr4) soient vérifiées hors de S(X , ˜
K). On a
évidemment S(X ) ⊂ S(X , ˜
K).
Si X est l’image par χ
˜
G d’une classe de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ),
l’ensemble S(X ) coïncide avec l’ensemble S(C) défini en [VI] 2.3 pour toute classe
de conjugaison C contenue dans cette classe de conjugaison stable.
Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places de F contenant
V ram . On définit une distribution A
˜
G (V, X , ω) ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Elle est nulle si X n’appartient pas à l’image de l’application χ
˜
G . Supposons
que X = χ
˜
G (O), où O est une classe de conjugaison stable semi-simple. Pour
toute classe de conjugaison ordinaire C ∈ ˜
G ss (F )/ conj, on a défini la distribution
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soit définie sur F v . D’après le lemme 1.6(i), X est l’image par χ
˜
Gv d’une classe
O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj et on peut choisir un élément η ∈ O tel que G η soit quasidéployé. On choisit une paire de Borel (B , T ) de G conservée par ad η et telle
que (B ∩ G η , T ∩ G η ) soit définie sur F v . A l’aide des paires (B
, T
) et (B , T ),
on construit les couples (μ , ω ) et (μ η , ω η ) comme en 1.2. De (μ , ω ) se déduit
comme en 1.7 un élément de Stab( ˜
G(F v )). L’hypothèse que X est l’image de X
signifie que cet élément est conjugué à (μ η , ω η ). En appliquant 1.2(3), on voit
que l’on peut remplacer la paire (B , T ) par une autre qui possède les mêmes
propriétés que ci-dessus, de sorte qu’après ce remplacement, le couple (μ η , ω η ) soit
égal à celui déduit de (μ , ω ). On complète les paires (B
, T
) et (B , T ) en des
paires de Borel épinglées E
et E . Ecrivons η = ν e avec ν ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E )
et = ν
e
, où ν
∈ T
et e
∈ Z( ˜
G
, E
) est l’image de e . On a l’homomorphisme
usuel ξ T,T : T → T
. On voit que l’égalité des couples ci-dessus signifie que
ξ T,T (ν ) = ν
et qu’il existe un cocycle σ → ω ¯
H (σ) de Γ Fv dans W
Gη de sorte
que l’on ait la relation σ G ◦ ξ T,T = ξ T,T ◦ ω ¯
H (σ) ◦ σ G . Parce que G η est quasidéployé, on peut appliquer [44] corollaire 2.2 : on peut fixer g ∈ G η,SC de sorte
que le tore T = ad g −1 (T ) soit défini sur F v et que, pour tout σ ∈ Γ Fv , l’élément
gσ(g)
−1 normalise T et ait ω ¯
H (σ) pour image dans W
Gη . Posons E = ad g −1 (E ).
Son tore sous-jacent est T et on note B le sous-groupe de Borel sous-jacent. Parce
que ad g fixe η, on a l’égalité η = νe, où ν = ad g −1 (ν ) et e = ad g −1 (e ). On a
aussi ξ T,T = ξ T,T ◦ ad g . On vérifie alors que ξ T,T (ν) = ν
et que l’on a l’égalité
σ G ◦ ξ T,T = ξ T,T ◦ σ pour tout σ ∈ Γ Fv . Mais cela signifie que (, B
, T
, B, T, η)
est un diagramme. Donc O correspond à O
. Cela prouve la première assertion de
(ii). La seconde résulte de (i).
VII.1.9 Distributions associées à un paramètre
Soit X ∈Stab( ˜
G(F )). On peut représenter X par un élément (μ,ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F ))
et relever μ en (ν, ¯
e), avec ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G). On considère les conditions
(nr1),. . .,(nr4) de 1.6 pour une place v ∈ Val(F ) − V ram . Il est clair que chacune
d’elles est vérifiée sauf pour un ensemble fini de places. On note S(X ) le plus petit
ensemble de places contenant V ram tel que (nr1) et (nr2) soient vérifiées hors de
S(X ). On note S(X , ˜
K) le plus petit ensemble de places contenant V ram tel que
les conditions (nr1), (nr2), (nr3) et (nr4) soient vérifiées hors de S(X , ˜
K). On a
évidemment S(X ) ⊂ S(X , ˜
K).
Si X est l’image par χ
˜
G d’une classe de conjugaison stable dans ˜
G ss (F ),
l’ensemble S(X ) coïncide avec l’ensemble S(C) défini en [VI] 2.3 pour toute classe
de conjugaison C contenue dans cette classe de conjugaison stable.
Soient X ∈ Stab( ˜
G(F )) et V un ensemble fini de places de F contenant
V ram . On définit une distribution A
˜
G (V, X , ω) ∈ D g´ eom ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Elle est nulle si X n’appartient pas à l’image de l’application χ
˜
G . Supposons
que X = χ
˜
G (O), où O est une classe de conjugaison stable semi-simple. Pour
toute classe de conjugaison ordinaire C ∈ ˜
G ss (F )/ conj, on a défini la distribution