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Chapitre VII. Descente globale
Lemme. Soit O
∈ ˜
G
ss (F v )/ st-conj. Notons X
son image par χ
˜
G
v et X l’image
de X
dans Stab( ˜
G(F v )).
(i) Supposons que O
corresponde à une classe O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj par la correspondance supérieure du diagramme. Alors χ
˜
Gv (O) = X .
(ii) Supposons que v ∈ V ram et que X vérifie les conditions (nr3) et (nr4) de 1.6.
Alors O
correspond à une classe O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj et on a χ
˜
Gv (O) = X .
Preuve. Prouvons (i). On fixe des paires de Borel épinglées dans les groupes
duaux comme en 1.7. Puisque O correspond à O
, on peut fixer un diagramme
(, B
, T
, B, T, η) (sur le corps de base F v ) avec ∈ O
et η ∈ O. On complète
(B, T ) et (B
, T
) en des paires de Borel épinglées E et E
, que l’on peut identifier
à E
∗ et E
∗ . On écrit η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). On a alors = ξ(ν)e
où e
est l’image de e dans Z( ˜
G
) Z( ˜
G
, E
). Donc les termes μ et μ
coïncident dans
(T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G). On introduit les cochaînes u E , u η , u E et u comme
en 1.2. Soit σ ∈ Γ Fv . Parce que les éléments η et et les tores T et T
sont définis
sur F v , les éléments u E (σ) et u η (σ) normalisent T et les éléments u E (σ) et u (σ)
normalisent T
. Leurs images dans W sont invariantes par θ (cf. [I] 1.3(3)). On les
note par des lettres grasses : u E (σ) est l’image de u E (σ) dans W
θ . Les définitions
entraînent ω η (σ) = u η (σ)u E (σ)
−1 , ω (σ) = u (σ)u E (σ)
−1 . L’homomorphisme ξ
est équivariant pour les actions naturelles. Donc
ξ ◦ u E (σ)
−1
◦ σ G ∗ = u E (σ)
−1
◦ σ G ∗ ◦ ξ.
Il en résulte que
ω G (σ) = u E (σ)u E (σ)
−1 .
On vérifie que ω (σ)ω G (σ)σ G ∗ conserve μ. On peut donc introduire la cochaîne
ω ¯
H à valeurs dans W (μ) telle que ω ¯
H (σ)
−1 ω (σ)ω G (σ)σ G ∗ conserve Σ + (μ). Pour
prouver que χ
˜
Gv (O) = X , il suffit de prouver que
ω ¯
H (σ)
−1 ω (σ)ω G (σ) = ω η (σ)
pour tout σ ∈ Γ Fv . Puisque, composés avec σ G ∗ , ces deux éléments conservent
Σ + (μ), il suffit de prouver que leurs images dans W (μ)\W
θ
∗ sont égales. On a
ω ¯
H (σ)
−1 ω (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)
−1 u (σ)u E (σ)
−1 ω G (σ)
= ω ¯
H (σ)
−1 u (σ)u E (σ)
−1 ,
ω η (σ) = u η (σ)u E (σ)
−1 .
Dans le membre de droite de la première égalité, les deux premiers termes appartiennent à W
G
(μ
) ⊂ W (μ). Dans le membre de droite de la seconde, le premier
terme appartient à W (μ). Les deux termes appartiennent donc à W (μ)u E (σ)
−1 ,
ce qui prouve l’assertion cherchée.
Prouvons (ii). On peut choisir ∈ O
tel que G
soit quasi-déployé. On fixe
une paire de Borel (B
, T
) de G
conservée par ad et telle que (B
∩ G , T
)
Chapitre VII. Descente globale
Lemme. Soit O
∈ ˜
G
ss (F v )/ st-conj. Notons X
son image par χ
˜
G
v et X l’image
de X
dans Stab( ˜
G(F v )).
(i) Supposons que O
corresponde à une classe O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj par la correspondance supérieure du diagramme. Alors χ
˜
Gv (O) = X .
(ii) Supposons que v ∈ V ram et que X vérifie les conditions (nr3) et (nr4) de 1.6.
Alors O
correspond à une classe O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj et on a χ
˜
Gv (O) = X .
Preuve. Prouvons (i). On fixe des paires de Borel épinglées dans les groupes
duaux comme en 1.7. Puisque O correspond à O
, on peut fixer un diagramme
(, B
, T
, B, T, η) (sur le corps de base F v ) avec ∈ O
et η ∈ O. On complète
(B, T ) et (B
, T
) en des paires de Borel épinglées E et E
, que l’on peut identifier
à E
∗ et E
∗ . On écrit η = νe, avec ν ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). On a alors = ξ(ν)e
où e
est l’image de e dans Z( ˜
G
) Z( ˜
G
, E
). Donc les termes μ et μ
coïncident dans
(T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G). On introduit les cochaînes u E , u η , u E et u comme
en 1.2. Soit σ ∈ Γ Fv . Parce que les éléments η et et les tores T et T
sont définis
sur F v , les éléments u E (σ) et u η (σ) normalisent T et les éléments u E (σ) et u (σ)
normalisent T
. Leurs images dans W sont invariantes par θ (cf. [I] 1.3(3)). On les
note par des lettres grasses : u E (σ) est l’image de u E (σ) dans W
θ . Les définitions
entraînent ω η (σ) = u η (σ)u E (σ)
−1 , ω (σ) = u (σ)u E (σ)
−1 . L’homomorphisme ξ
est équivariant pour les actions naturelles. Donc
ξ ◦ u E (σ)
−1
◦ σ G ∗ = u E (σ)
−1
◦ σ G ∗ ◦ ξ.
Il en résulte que
ω G (σ) = u E (σ)u E (σ)
−1 .
On vérifie que ω (σ)ω G (σ)σ G ∗ conserve μ. On peut donc introduire la cochaîne
ω ¯
H à valeurs dans W (μ) telle que ω ¯
H (σ)
−1 ω (σ)ω G (σ)σ G ∗ conserve Σ + (μ). Pour
prouver que χ
˜
Gv (O) = X , il suffit de prouver que
ω ¯
H (σ)
−1 ω (σ)ω G (σ) = ω η (σ)
pour tout σ ∈ Γ Fv . Puisque, composés avec σ G ∗ , ces deux éléments conservent
Σ + (μ), il suffit de prouver que leurs images dans W (μ)\W
θ
∗ sont égales. On a
ω ¯
H (σ)
−1 ω (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)
−1 u (σ)u E (σ)
−1 ω G (σ)
= ω ¯
H (σ)
−1 u (σ)u E (σ)
−1 ,
ω η (σ) = u η (σ)u E (σ)
−1 .
Dans le membre de droite de la première égalité, les deux premiers termes appartiennent à W
G
(μ
) ⊂ W (μ). Dans le membre de droite de la seconde, le premier
terme appartient à W (μ). Les deux termes appartiennent donc à W (μ)u E (σ)
−1 ,
ce qui prouve l’assertion cherchée.
Prouvons (ii). On peut choisir ∈ O
tel que G
soit quasi-déployé. On fixe
une paire de Borel (B
, T
) de G
conservée par ad et telle que (B
∩ G , T
)