VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
765
égales. L’action galoisienne sur Z( ¯
G) est σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Puisque ω ¯
H (σ) appartient au groupe W (μ) = W
¯
G , son action sur Z( ¯
G) est triviale et on peut aussi
bien remplacer l’action précédente par σ → ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ = ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Un
élément x ∗ ∈ X ∗ (Z( ¯
G)
0 ) annule l’ensemble Σ(μ), donc aussi Σ
¯
H . Son image dans
X ∗ (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) annule donc Σ
G
(μ
). Cela montre que Z( ¯
G)
0 s’envoie dans
Z( ¯
G
)
0 . Donc Z( ¯
G)
ΓF ,0 s’envoie dans Z( ¯
G
)
ΓF ,0 , où l’action de Γ F est l’action
ci-dessus. Cette action sur Z( ¯
G
) est la même qu’en 1.1. L’ellipticité de X
nous
dit que Z( ¯
G
)
ΓF ,0 = Z(G
)
ΓF ,0 . Mais l’ellipticité de G
signifie que ce groupe est
précisément l’image de Z(G)
ΓF ,θ,0 . D’où la conclusion.
Si l’on remplace le corps de base F par un complété F v , on a une application similaire à (1). Soit v une place de F telle que v ∈ V ram (G
). Soit
X
∈ Stab( ˜
G
(F v )), notons X ∈ Stab( ˜
G(F v )) son image par cette application.
On a
(3) si X vérifie la condition (nr1) de 1.6, resp. (nr2), alors X
vérifie la même
condition ; X vérifie la condition (nr3) si et seulement si X
vérifie la même
condition.
Quand on passe de X à X
, les termes (N α)(ν) de ces conditions sont remplacés par les mêmes termes ou éventuellement par (2N α)(ν) pour α de type 2
ou 3. De plus, pour G
, toutes les racines sont de type 1. La première assertion
s’ensuit. D’autre part, l’espace ˜
K
v est défini de telle sorte que, par l’isomorphisme
˜
ξ défini plus haut, le terme μ( ˜
K v ) s’identifie à μ( ˜
K
v ). D’où la seconde assertion.
On a aussi
(4) si X
vérifie la condition (nr4), alors X la vérifie aussi.
Soit σ dans le groupe d’inertie I v . Avec les notations de la construction cidessus, σ G ∗ agit trivialement sur Σ(T
∗ ) puisque v ∈ V ram , ω G (σ) = 1 puisque
v ∈ V ram (G
) et ω ¯
G (σ) = 1 puisque X
vérifie (nr4). Donc ω ¯
G (σ) = ω ¯
H (σ)
−1 . Cet
élément appartient à W (μ) et conserve Σ + (μ). C’est donc l’identité.
VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes
de conjugaison stable
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) et soit V un ensemble
fini de places de F . On a un diagramme
˜
G
ss (F V )/ st-conj . . . ˜
G ss (F V )/ st-conj
χ
˜
G
V ↓
↓ χ
˜
GV
Stab( ˜
G
(F V ))
→
Stab( ˜
G(F V )) .
La ligne horizontale du haut n’est qu’une correspondance, précisément
une fonction définie sur un sous-ensemble de ˜
G
ss (F V )/ st-conj, à valeurs dans
˜
G ss (F V )/ st-conj. L’application χ
˜
G
V est bijective (lemme 1.3). On considère maintenant le cas où V est réduit à une seule place v.
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égales. L’action galoisienne sur Z( ¯
G) est σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Puisque ω ¯
H (σ) appartient au groupe W (μ) = W
¯
G , son action sur Z( ¯
G) est triviale et on peut aussi
bien remplacer l’action précédente par σ → ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ = ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Un
élément x ∗ ∈ X ∗ (Z( ¯
G)
0 ) annule l’ensemble Σ(μ), donc aussi Σ
¯
H . Son image dans
X ∗ (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) annule donc Σ
G
(μ
). Cela montre que Z( ¯
G)
0 s’envoie dans
Z( ¯
G
)
0 . Donc Z( ¯
G)
ΓF ,0 s’envoie dans Z( ¯
G
)
ΓF ,0 , où l’action de Γ F est l’action
ci-dessus. Cette action sur Z( ¯
G
) est la même qu’en 1.1. L’ellipticité de X
nous
dit que Z( ¯
G
)
ΓF ,0 = Z(G
)
ΓF ,0 . Mais l’ellipticité de G
signifie que ce groupe est
précisément l’image de Z(G)
ΓF ,θ,0 . D’où la conclusion.
Si l’on remplace le corps de base F par un complété F v , on a une application similaire à (1). Soit v une place de F telle que v ∈ V ram (G
). Soit
X
∈ Stab( ˜
G
(F v )), notons X ∈ Stab( ˜
G(F v )) son image par cette application.
On a
(3) si X vérifie la condition (nr1) de 1.6, resp. (nr2), alors X
vérifie la même
condition ; X vérifie la condition (nr3) si et seulement si X
vérifie la même
condition.
Quand on passe de X à X
, les termes (N α)(ν) de ces conditions sont remplacés par les mêmes termes ou éventuellement par (2N α)(ν) pour α de type 2
ou 3. De plus, pour G
, toutes les racines sont de type 1. La première assertion
s’ensuit. D’autre part, l’espace ˜
K
v est défini de telle sorte que, par l’isomorphisme
˜
ξ défini plus haut, le terme μ( ˜
K v ) s’identifie à μ( ˜
K
v ). D’où la seconde assertion.
On a aussi
(4) si X
vérifie la condition (nr4), alors X la vérifie aussi.
Soit σ dans le groupe d’inertie I v . Avec les notations de la construction cidessus, σ G ∗ agit trivialement sur Σ(T
∗ ) puisque v ∈ V ram , ω G (σ) = 1 puisque
v ∈ V ram (G
) et ω ¯
G (σ) = 1 puisque X
vérifie (nr4). Donc ω ¯
G (σ) = ω ¯
H (σ)
−1 . Cet
élément appartient à W (μ) et conserve Σ + (μ). C’est donc l’identité.
VII.1.8 Retour sur la correspondance entre classes
de conjugaison stable
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) et soit V un ensemble
fini de places de F . On a un diagramme
˜
G
ss (F V )/ st-conj . . . ˜
G ss (F V )/ st-conj
χ
˜
G
V ↓
↓ χ
˜
GV
Stab( ˜
G
(F V ))
→
Stab( ˜
G(F V )) .
La ligne horizontale du haut n’est qu’une correspondance, précisément
une fonction définie sur un sous-ensemble de ˜
G
ss (F V )/ st-conj, à valeurs dans
˜
G ss (F V )/ st-conj. L’application χ
˜
G
V est bijective (lemme 1.3). On considère maintenant le cas où V est réduit à une seule place v.