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Chapitre VII. Descente globale
Soit (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )). Par l’inverse de l’isomorphisme précédent, μ
s’identifie à un élément μ ∈ (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). L’ensemble de racines
Σ(μ
) ne s’identifie pas à un sous-ensemble de Σ(μ) car le premier ensemble est
formé d’éléments N α ou 2N α pour α ∈ Σ(T
∗ ) tandis que le second est formé
d’éléments α res . Mais, pour tout β
∈ Σ(μ
), il existe un unique β ∈ Σ(μ) de sorte
que la restriction de β
à T
∗,θ
∗ ,0 soit de la forme bβ, avec b ∈ Q, b > 0. Pour une
raison qui apparaîtra plus tard, on note Σ
¯
H l’ensemble de ces racines β. Rappelons
plus précisément cette correspondance. On fixe ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G) tel que μ soit
l’image de (ν, ¯
e). Alors
Σ(μ
) = {N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 1, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν) = −1}
∪ {N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 3, (N ˆ
α)(s) = −1, (N α)(ν) = 1}.
On envoie un élément N α du premier ensemble sur α res , un élément 2N α du
deuxième sur α res , un élément 2N α du troisième sur 2α res , un élément N α du
quatrième sur α res /2. On vérifie que Σ
¯
H est un sous-système de racines de Σ(μ),
dont le groupe de Weyl n’est autre que W
G
(μ
). Cela entraîne que W
G
(μ
) est
un sous-groupe de W (μ).
L’application σ → ω ¯
G (σ)ω G (σ) est un cocycle de Γ F dans W
θ
∗ . Pour tout
σ ∈ Γ F , ω ¯
G (σ)ω G (σ)σ G ∗ = ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ fixe μ. Le couple formé de μ et de
ce cocycle appartient donc à Stab( ˜
G(F )). On note (μ, ω ¯
G ) l’unique élément de
Stab( ˜
G(F )) qui lui est équivalent. On note ω ˜
H l’unique cocycle de Γ F dans W (μ)
tel que ω ¯
H (σ) ◦ ω ¯
G (σ) = ω ¯
G (σ)ω G (σ) pour tout σ. On a ainsi défini une application
Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F ))
(μ
, ω ¯
G )
→
(μ, ω ¯
G ).
On vérifie qu’elle se quotiente en une application
(1)
Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F )).
Celle-ci ne dépend pas du choix de la paire de Borel épinglée ˆ
E. Ses fibres sont
évidemment finies.
On a
(2) supposons G
elliptique ; soit X
∈ Stab( ˜
G
(F )), notons X son image par
l’application ci-dessus ; si X
est elliptique, alors X l’est.
Preuve. On reprend les constructions précédentes en supposant que (μ
, ω ¯
G ) est
elliptique. Avec les notations de 1.1, on a l’inclusion Z(G)
ΓF ,θ,0
⊂ Z( ¯
G)
ΓF ,0 et
on doit prouver que c’est une égalité. Puisqu’il s’agit de groupes connexes et que
l’homomorphisme naturel T
∗,θ
∗ ,0
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) a un noyau fini, il revient
au même de prouver que les images de ces groupes dans T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) sont
Chapitre VII. Descente globale
Soit (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G
(F )). Par l’inverse de l’isomorphisme précédent, μ
s’identifie à un élément μ ∈ (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). L’ensemble de racines
Σ(μ
) ne s’identifie pas à un sous-ensemble de Σ(μ) car le premier ensemble est
formé d’éléments N α ou 2N α pour α ∈ Σ(T
∗ ) tandis que le second est formé
d’éléments α res . Mais, pour tout β
∈ Σ(μ
), il existe un unique β ∈ Σ(μ) de sorte
que la restriction de β
à T
∗,θ
∗ ,0 soit de la forme bβ, avec b ∈ Q, b > 0. Pour une
raison qui apparaîtra plus tard, on note Σ
¯
H l’ensemble de ces racines β. Rappelons
plus précisément cette correspondance. On fixe ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G) tel que μ soit
l’image de (ν, ¯
e). Alors
Σ(μ
) = {N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 1, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν) = 1}
∪ {2N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 2, (N ˆ
α)(s) = 1, (N α)(ν) = −1}
∪ {N α; α ∈ Σ(T
∗ ), α de type 3, (N ˆ
α)(s) = −1, (N α)(ν) = 1}.
On envoie un élément N α du premier ensemble sur α res , un élément 2N α du
deuxième sur α res , un élément 2N α du troisième sur 2α res , un élément N α du
quatrième sur α res /2. On vérifie que Σ
¯
H est un sous-système de racines de Σ(μ),
dont le groupe de Weyl n’est autre que W
G
(μ
). Cela entraîne que W
G
(μ
) est
un sous-groupe de W (μ).
L’application σ → ω ¯
G (σ)ω G (σ) est un cocycle de Γ F dans W
θ
∗ . Pour tout
σ ∈ Γ F , ω ¯
G (σ)ω G (σ)σ G ∗ = ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ fixe μ. Le couple formé de μ et de
ce cocycle appartient donc à Stab( ˜
G(F )). On note (μ, ω ¯
G ) l’unique élément de
Stab( ˜
G(F )) qui lui est équivalent. On note ω ˜
H l’unique cocycle de Γ F dans W (μ)
tel que ω ¯
H (σ) ◦ ω ¯
G (σ) = ω ¯
G (σ)ω G (σ) pour tout σ. On a ainsi défini une application
Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F ))
(μ
, ω ¯
G )
→
(μ, ω ¯
G ).
On vérifie qu’elle se quotiente en une application
(1)
Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F )).
Celle-ci ne dépend pas du choix de la paire de Borel épinglée ˆ
E. Ses fibres sont
évidemment finies.
On a
(2) supposons G
elliptique ; soit X
∈ Stab( ˜
G
(F )), notons X son image par
l’application ci-dessus ; si X
est elliptique, alors X l’est.
Preuve. On reprend les constructions précédentes en supposant que (μ
, ω ¯
G ) est
elliptique. Avec les notations de 1.1, on a l’inclusion Z(G)
ΓF ,θ,0
⊂ Z( ¯
G)
ΓF ,0 et
on doit prouver que c’est une égalité. Puisqu’il s’agit de groupes connexes et que
l’homomorphisme naturel T
∗,θ
∗ ,0
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) a un noyau fini, il revient
au même de prouver que les images de ces groupes dans T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) sont