VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
763
fini premier à p de sorte que kη p k
−1 = ν p e 0 et que le tore T = ad k −1 (T 0 ) soit défini sur F v . L’élément u appartient à Z G (η p ; F v ). La condition v ∈ V ram implique
que l’indice de G η p (F v ) dans ce groupe est premier à p. Puisque u est topologiquement unipotent, il appartient à G η p (F v ). On peut fixer x ∈ G η p tel que
xux
−1
∈ T . Posons u
= kxux
−1 k
−1 . C’est un élément de T 0 qui est topologiquement unipotent. Posons ν = u
ν p . On a kxη(kx)
−1 = νe 0 . Par construction, les
hypothèses (nr1) et (nr2) s’appliquent à cet élément ν. Pour α ∈ Σ(T 0 ), (N α)(ν p )
est un élément d’ordre premier à p de o
nr,×
v
, tandis que (N α)(u
) est un élément
topologiquement unipotent de ¯
F
×
v , donc une unité de réduction 1 dans le corps
résiduel. La condition (nr2) nous dit donc que, pour = 1 dans le cas où α est de
type 1 et pour = ±1 dans le cas où α est de type 2 ou 3, la condition (N α)(ν) =
est équivalente à (N α)(ν p ) = . D’après la description des commutants de νe 0 et
ν p e 0 , cela entraîne que ces deux commutants ont même système de racines. On
sait déjà que G η ⊂ G η p , donc G νe0 ⊂ G ν p e0 . Ces deux groupes sont donc égaux
et aussi G η = G η p . Les relations u ∈ G η p = G η ⊂ G u entraînent que u appartient au centre de G η p . Mais alors l’élément x de la construction ci-dessus ne sert
à rien : on a xux
−1 = u. On reprend la construction avec x = 1. L’élément u
appartient maintenant à T 0 (o
nr
v ) et ν aussi. On a kηk
−1 = νe 0 . En reprenant les
définitions, on voit que la relation ν ∈ T 0 (o
nr
v ) entraîne la condition (nr3) tandis
que la relation k ∈ K
nr
v entraîne la condition (nr4). Enfin, les dernières assertions
de (ii) résultent de l’égalité G η = G η p et du lemme [79] 5.4(ii) ou plus exactement
de sa preuve, qui montre que ces assertions sont vérifiées par le groupe G η p .
VII.1.7 Paramètres et endoscopie
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On fixe une paire de
Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G de sorte que ad ˜
s conserve ( ˆ
B, ˆ
T ). On en
déduit un automorphisme ˆ
θ de ˆ
G et une action galoisienne modifiée qui conserve ˆ
E,
cf. [I] 1.4. On écrit ˜
s = s ˆ
θ. On choisit une paire de Borel épinglée ˆ
E
de ˆ
G
dont la
paire de Borel sous-jacente soit ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ). On note E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
α ) α∈Δ )
la paire de Borel épinglée de G
. De l’injection naturelle ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ ˆ
T se déduit un
homomorphisme
ξ : T
∗
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) T
∗ .
En munissant ces objets des actions quasi-déployées, il y a un cocycle ω G : Γ F →
W
θ
∗ de sorte que σ G ∗ ◦ ξ = ξ ◦ ω G (σ) ◦ σ G ∗ pour tout σ ∈ Γ F . Le groupe W
G
s’identifie à un sous-groupe de W
θ
∗ en identifiant w
∈ W
G
à l’unique élément
w ∈ W
θ
∗ tel que ξ ◦ w = w
◦ ξ. On a décrit en [I] 1.6 l’ensemble de racines Σ(T
∗ ).
Il y a aussi un homomorphisme naturel Z( ˜
G) → Z( ˜
G
) qui est équivariant
pour les actions galoisiennes. On en déduit un isomorphisme
˜
ξ : (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G) T
∗
× Z(G ) Z( ˜
G
).
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fini premier à p de sorte que kη p k
−1 = ν p e 0 et que le tore T = ad k −1 (T 0 ) soit défini sur F v . L’élément u appartient à Z G (η p ; F v ). La condition v ∈ V ram implique
que l’indice de G η p (F v ) dans ce groupe est premier à p. Puisque u est topologiquement unipotent, il appartient à G η p (F v ). On peut fixer x ∈ G η p tel que
xux
−1
∈ T . Posons u
= kxux
−1 k
−1 . C’est un élément de T 0 qui est topologiquement unipotent. Posons ν = u
ν p . On a kxη(kx)
−1 = νe 0 . Par construction, les
hypothèses (nr1) et (nr2) s’appliquent à cet élément ν. Pour α ∈ Σ(T 0 ), (N α)(ν p )
est un élément d’ordre premier à p de o
nr,×
v
, tandis que (N α)(u
) est un élément
topologiquement unipotent de ¯
F
×
v , donc une unité de réduction 1 dans le corps
résiduel. La condition (nr2) nous dit donc que, pour = 1 dans le cas où α est de
type 1 et pour = ±1 dans le cas où α est de type 2 ou 3, la condition (N α)(ν) =
est équivalente à (N α)(ν p ) = . D’après la description des commutants de νe 0 et
ν p e 0 , cela entraîne que ces deux commutants ont même système de racines. On
sait déjà que G η ⊂ G η p , donc G νe0 ⊂ G ν p e0 . Ces deux groupes sont donc égaux
et aussi G η = G η p . Les relations u ∈ G η p = G η ⊂ G u entraînent que u appartient au centre de G η p . Mais alors l’élément x de la construction ci-dessus ne sert
à rien : on a xux
−1 = u. On reprend la construction avec x = 1. L’élément u
appartient maintenant à T 0 (o
nr
v ) et ν aussi. On a kηk
−1 = νe 0 . En reprenant les
définitions, on voit que la relation ν ∈ T 0 (o
nr
v ) entraîne la condition (nr3) tandis
que la relation k ∈ K
nr
v entraîne la condition (nr4). Enfin, les dernières assertions
de (ii) résultent de l’égalité G η = G η p et du lemme [79] 5.4(ii) ou plus exactement
de sa preuve, qui montre que ces assertions sont vérifiées par le groupe G η p .
VII.1.7 Paramètres et endoscopie
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On fixe une paire de
Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G de sorte que ad ˜
s conserve ( ˆ
B, ˆ
T ). On en
déduit un automorphisme ˆ
θ de ˆ
G et une action galoisienne modifiée qui conserve ˆ
E,
cf. [I] 1.4. On écrit ˜
s = s ˆ
θ. On choisit une paire de Borel épinglée ˆ
E
de ˆ
G
dont la
paire de Borel sous-jacente soit ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ). On note E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
α ) α∈Δ )
la paire de Borel épinglée de G
. De l’injection naturelle ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ ˆ
T se déduit un
homomorphisme
ξ : T
∗
→ T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) T
∗ .
En munissant ces objets des actions quasi-déployées, il y a un cocycle ω G : Γ F →
W
θ
∗ de sorte que σ G ∗ ◦ ξ = ξ ◦ ω G (σ) ◦ σ G ∗ pour tout σ ∈ Γ F . Le groupe W
G
s’identifie à un sous-groupe de W
θ
∗ en identifiant w
∈ W
G
à l’unique élément
w ∈ W
θ
∗ tel que ξ ◦ w = w
◦ ξ. On a décrit en [I] 1.6 l’ensemble de racines Σ(T
∗ ).
Il y a aussi un homomorphisme naturel Z( ˜
G) → Z( ˜
G
) qui est équivariant
pour les actions galoisiennes. On en déduit un isomorphisme
˜
ξ : (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G) T
∗
× Z(G ) Z( ˜
G
).