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Chapitre VII. Descente globale
Le théorème de Lang implique qu’un tel cocycle est un cobord. Donc, quitte à
changer encore ν, on peut supposer
ω ¯
G (σ)σ G (ν) = z(σ)ν
pour tout σ. Introduisons le groupe G
θ
SC des points fixes de θ = ad e0 dans G SC .
De la paire de Borel épinglée E 0 se déduit une telle paire pour G
θ
SC , puis un sousgroupe compact hyperspécial de G
θ
SC (F v ), notons-le K
1
v . Comme précédemment,
il détermine un sous-groupe K
1,nr
v
de G
θ
SC (F
nr
v ). En appliquant 1.5(5), on obtient
un élément k ∈ K
1,nr
v
tel que, pour tout σ ∈ Γ
nr
v , k
−1 σ(k) normalise T 0 et ait
ω ¯
G (σ) pour image dans W
θ . Posons η = kνe 0 k
−1 . On a η ∈ ˜
G(F
nr
v ). De plus
σ(η) = σ(k)σ(ν)σ(k
−1 )σ(e 0 )
pour tout σ ∈ Γ
nr
v parce k ∈ G
θ
SC . Puis
σ(η) = σ(k)ω ¯
G (σ)
−1 (z(σ)ν)σ(k
−1 )z(σ)
−1 e 0 .
En utilisant l’égalité ω ¯
G (σ)
−1 = ad σ(k) −1 k , on obtient σ(η) = η, donc η appartient à ˜
G(F v ). Par un calcul analogue, la relation 1.1(2) entraîne que la paire de
Borel (k(B 0 ∩ G νe0 )k
−1 , kT
θ,0
0 k
−1 ) de G η est définie sur F v . Donc G η est quasidéployé. On a aussi η = kνk
−1 e 0 = kνk
−1 ν
−1
0 ν 0 e 0 . On sait que ν 0 e 0 ∈ ˜
G(F v ),
donc kνk
−1 ν
−1
0
∈ G(F v ). Or c’est un élément de K
nr
v . Donc il appartient à K v .
Puisque ν 0 e 0 ∈ ˜
K v , cela entraîne que η ∈ ˜
K v . Il est clair que la classe de conjugaison stable de η a pour image X dans Stab( ˜
G(F v )). La conclusion de (i) est
vérifiée.
Preuve de (ii). Soit η ∈ ˜
K v dont la classe de conjugaison stable s’envoie sur X .
On peut fixer un entier N premier à p de sorte que
– θ
N = 1 ;
– le nombre d’éléments de Z(G SC ) divise N .
On introduit le groupe non connexe G
+ = G {1, θ, . . . , θ
N −1
}, muni de
l’action de Γ Fv définie par σ(g, θ
j ) = (z(σ)
−j σ(g), θ
j ). Alors ˜
G s’identifie à la
composante Gθ, ge 0 s’identifiant à gθ pour g ∈ G. Dans cette situation, on a défini en [79] 5.2 la notion d’élément compact de ˜
G(F v ) : un élément est compact si
et seulement si le sous-groupe qu’il engendre dans G
+ (F v ) est d’adhérence compacte. La condition η ∈ ˜
K v entraîne que le sous-groupe engendré par η est inclus
dans G
+ (F v ) ∩ (K
nr
v × {1, θ, . . . , θ
N −1
}), donc η est compact. D’après [79] 5.2, on
peut décomposer η en uη p , où η p est d’ordre fini premier à p et u ∈ G(F v ) est
topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence du groupe
engendré par η. En particulier, ils commutent entre eux et le commutant de η
dans G est l’intersection des commutants de u et η p . La description ci-dessus de
l’adhérence du sous-groupe engendré par η montre que u ∈ K v et η p ∈ ˜
K v . Le
lemme [79] 5.4 nous dit qu’il existe k ∈ K
nr
v et un élément ν p ∈ T 0 (o
nr
v ) d’ordre
Chapitre VII. Descente globale
Le théorème de Lang implique qu’un tel cocycle est un cobord. Donc, quitte à
changer encore ν, on peut supposer
ω ¯
G (σ)σ G (ν) = z(σ)ν
pour tout σ. Introduisons le groupe G
θ
SC des points fixes de θ = ad e0 dans G SC .
De la paire de Borel épinglée E 0 se déduit une telle paire pour G
θ
SC , puis un sousgroupe compact hyperspécial de G
θ
SC (F v ), notons-le K
1
v . Comme précédemment,
il détermine un sous-groupe K
1,nr
v
de G
θ
SC (F
nr
v ). En appliquant 1.5(5), on obtient
un élément k ∈ K
1,nr
v
tel que, pour tout σ ∈ Γ
nr
v , k
−1 σ(k) normalise T 0 et ait
ω ¯
G (σ) pour image dans W
θ . Posons η = kνe 0 k
−1 . On a η ∈ ˜
G(F
nr
v ). De plus
σ(η) = σ(k)σ(ν)σ(k
−1 )σ(e 0 )
pour tout σ ∈ Γ
nr
v parce k ∈ G
θ
SC . Puis
σ(η) = σ(k)ω ¯
G (σ)
−1 (z(σ)ν)σ(k
−1 )z(σ)
−1 e 0 .
En utilisant l’égalité ω ¯
G (σ)
−1 = ad σ(k) −1 k , on obtient σ(η) = η, donc η appartient à ˜
G(F v ). Par un calcul analogue, la relation 1.1(2) entraîne que la paire de
Borel (k(B 0 ∩ G νe0 )k
−1 , kT
θ,0
0 k
−1 ) de G η est définie sur F v . Donc G η est quasidéployé. On a aussi η = kνk
−1 e 0 = kνk
−1 ν
−1
0 ν 0 e 0 . On sait que ν 0 e 0 ∈ ˜
G(F v ),
donc kνk
−1 ν
−1
0
∈ G(F v ). Or c’est un élément de K
nr
v . Donc il appartient à K v .
Puisque ν 0 e 0 ∈ ˜
K v , cela entraîne que η ∈ ˜
K v . Il est clair que la classe de conjugaison stable de η a pour image X dans Stab( ˜
G(F v )). La conclusion de (i) est
vérifiée.
Preuve de (ii). Soit η ∈ ˜
K v dont la classe de conjugaison stable s’envoie sur X .
On peut fixer un entier N premier à p de sorte que
– θ
N = 1 ;
– le nombre d’éléments de Z(G SC ) divise N .
On introduit le groupe non connexe G
+ = G {1, θ, . . . , θ
N −1
}, muni de
l’action de Γ Fv définie par σ(g, θ
j ) = (z(σ)
−j σ(g), θ
j ). Alors ˜
G s’identifie à la
composante Gθ, ge 0 s’identifiant à gθ pour g ∈ G. Dans cette situation, on a défini en [79] 5.2 la notion d’élément compact de ˜
G(F v ) : un élément est compact si
et seulement si le sous-groupe qu’il engendre dans G
+ (F v ) est d’adhérence compacte. La condition η ∈ ˜
K v entraîne que le sous-groupe engendré par η est inclus
dans G
+ (F v ) ∩ (K
nr
v × {1, θ, . . . , θ
N −1
}), donc η est compact. D’après [79] 5.2, on
peut décomposer η en uη p , où η p est d’ordre fini premier à p et u ∈ G(F v ) est
topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence du groupe
engendré par η. En particulier, ils commutent entre eux et le commutant de η
dans G est l’intersection des commutants de u et η p . La description ci-dessus de
l’adhérence du sous-groupe engendré par η montre que u ∈ K v et η p ∈ ˜
K v . Le
lemme [79] 5.4 nous dit qu’il existe k ∈ K
nr
v et un élément ν p ∈ T 0 (o
nr
v ) d’ordre