VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
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(nr2) (types 2 et 3) pour α ∈ Σ(T
∗ ) de type 2 ou 3, et pour = ±1, la relation
(N α)(ν) + = 0 entraîne que la réduction dans ¯
F v de (N α)(ν) + est non
nulle ;
(nr3) μ ∈ μ( ˜
K v ) ;
(nr4) le cocycle ω ¯
G est non ramifié.
Ces conditions ne dépendent pas des relèvements choisis.
Lemme.
(i) Supposons vérifiées (nr3) et (nr4). Alors il existe une classe de conjugaison
stable O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj et un élément η ∈ O tels que χ
˜
G (O) = X , que
η ∈ ˜
K v et que G η soit quasi-déployé.
(ii) Supposons vérifiées (nr1) et (nr2) et supposons qu’il existe une classe de
conjugaison stable O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj telle que χ
˜
G (O) = X et que O coupe
˜
K v . Alors (nr3) et (nr4) sont vérifiées. Pour η ∈ O ∩ ˜
K v , le groupe G η est
non ramifié et K v ∩ G η (F v ) en est un sous-groupe compact hyperspécial. Plus
précisément, en notant K η le schéma en groupes associé à ce groupe hyperspécial, on a K η (o E ) = K v (o E ) ∩ G η (E) pour toute extension non ramifiée
E de F v .
Preuve de (i). Avec les notations de 1.5, on peut identifier E
∗ à E 0 et supposer
que ¯
e est l’image de e 0 . Notons ¯
ν l’image de ν dans T 0 /(1 − θ)(T 0 ), où θ = ad e0 .
Puisque μ est fixe par l’action σ → ω ¯
G (σ)σ et puisque σ(e 0 ) = z(σ)
−1 e 0 , on a
l’égalité
(1)
ω ¯
G (σ)σ(¯ ν) = z(σ)¯ ν.
Puisque ω ¯
G et z sont non ramifiés, cette relation implique que ¯
ν ∈ (T 0 /(1 −
θ)(T 0 ))(F
nr
v ). D’après (nr3), on a aussi ¯
ν ∈ (T 0 /(1−θ)(T 0 ))(¯ o v ). Donc ¯
ν appartient
à l’intersection de ces deux groupes, qui n’est autre que (T 0 /(1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ). De
la suite exacte de tores non ramifiés
1 → (1 − θ)(T 0 ) → T 0 → T 0 /(1 − θ)(T 0 ) → 1
se déduit une suite exacte
1 → ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) → T 0 (o
nr
v ) → (T 0 /(1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) → 1.
Quitte à changer ν, on peut donc supposer ν ∈ T 0 (o
nr
v ). La relation (1) implique
l’existence d’une cochaîne non ramifiée t : Γ Fv → ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) telle que
ω ¯
G (σ)σ(ν) = z(σ)t(σ)ν.
Puisque z est un cocycle à valeurs centrales, cette égalité implique que t est un
cocycle si l’on munit ((1 − θ 0 )(T 0 ))(o
nr
v ) de la structure galoisienne σ → ω ¯
G (σ)σ G .
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(nr2) (types 2 et 3) pour α ∈ Σ(T
∗ ) de type 2 ou 3, et pour = ±1, la relation
(N α)(ν) + = 0 entraîne que la réduction dans ¯
F v de (N α)(ν) + est non
nulle ;
(nr3) μ ∈ μ( ˜
K v ) ;
(nr4) le cocycle ω ¯
G est non ramifié.
Ces conditions ne dépendent pas des relèvements choisis.
Lemme.
(i) Supposons vérifiées (nr3) et (nr4). Alors il existe une classe de conjugaison
stable O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj et un élément η ∈ O tels que χ
˜
G (O) = X , que
η ∈ ˜
K v et que G η soit quasi-déployé.
(ii) Supposons vérifiées (nr1) et (nr2) et supposons qu’il existe une classe de
conjugaison stable O ∈ ˜
G ss (F v )/ st-conj telle que χ
˜
G (O) = X et que O coupe
˜
K v . Alors (nr3) et (nr4) sont vérifiées. Pour η ∈ O ∩ ˜
K v , le groupe G η est
non ramifié et K v ∩ G η (F v ) en est un sous-groupe compact hyperspécial. Plus
précisément, en notant K η le schéma en groupes associé à ce groupe hyperspécial, on a K η (o E ) = K v (o E ) ∩ G η (E) pour toute extension non ramifiée
E de F v .
Preuve de (i). Avec les notations de 1.5, on peut identifier E
∗ à E 0 et supposer
que ¯
e est l’image de e 0 . Notons ¯
ν l’image de ν dans T 0 /(1 − θ)(T 0 ), où θ = ad e0 .
Puisque μ est fixe par l’action σ → ω ¯
G (σ)σ et puisque σ(e 0 ) = z(σ)
−1 e 0 , on a
l’égalité
(1)
ω ¯
G (σ)σ(¯ ν) = z(σ)¯ ν.
Puisque ω ¯
G et z sont non ramifiés, cette relation implique que ¯
ν ∈ (T 0 /(1 −
θ)(T 0 ))(F
nr
v ). D’après (nr3), on a aussi ¯
ν ∈ (T 0 /(1−θ)(T 0 ))(¯ o v ). Donc ¯
ν appartient
à l’intersection de ces deux groupes, qui n’est autre que (T 0 /(1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ). De
la suite exacte de tores non ramifiés
1 → (1 − θ)(T 0 ) → T 0 → T 0 /(1 − θ)(T 0 ) → 1
se déduit une suite exacte
1 → ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) → T 0 (o
nr
v ) → (T 0 /(1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) → 1.
Quitte à changer ν, on peut donc supposer ν ∈ T 0 (o
nr
v ). La relation (1) implique
l’existence d’une cochaîne non ramifiée t : Γ Fv → ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) telle que
ω ¯
G (σ)σ(ν) = z(σ)t(σ)ν.
Puisque z est un cocycle à valeurs centrales, cette égalité implique que t est un
cocycle si l’on munit ((1 − θ 0 )(T 0 ))(o
nr
v ) de la structure galoisienne σ → ω ¯
G (σ)σ G .