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Chapitre VII. Descente globale
un cobord. Il existe donc t ∈ T 0 (o
nr
v ) tel que yσ(y)
−1 = tσ(t)
−1 pour tout σ ∈
Gal(F
nr
v /E). On pose x = t
−1 y. Alors x ∈ K
nr
v et xφ
N (x)
−1 = 1, donc x ∈ K
E
v .
De plus xφ(x)
−1 relève u(φ). Par la relation de cocycle, xσ(x)
−1 relève donc u(σ)
pour tout σ ∈ Gal(E/F v ). Cela prouve (5).
On a vu en [I] 6.1 (5) et (6) qu’il existait un couple (ν 0 , e 0 ) tel que ν 0 ∈
T 0 (o
nr
v ), e 0 ∈ Z( ˜
G, E 0 )(F
nr
v ) et ν 0 e 0 ∈ ˜
K v . L’hypothèse v ∈ V ram implique que p
est «grand», donc que l’image naturelle de X ∗ (T 0,sc ) dans X ∗ (T 0,ad ) est d’indice
premier à p. Puisqu’extraire des racines d’ordre premier à p d’unités ne crée que
des extensions non-ramifiées, l’application
T 0,sc (o
nr
v ) → T 0,ad (o
nr
v )
est surjective. Quitte à multiplier ν 0 par un élément de Z(G; F
nr
v ) ∩ T 0 (o
nr
v ) et e 0
par l’inverse de cet élément, on peut donc supposer qu’il existe ν 0,sc ∈ T 0,sc (o
nr
v ) tel
que ν 0 = π(ν 0,sc ). La condition ν 0 e 0 ∈ ˜
G(F v ) implique alors qu’il existe un cocycle
non ramifié σ → z(σ) de Γ Fv dans Z(G SC ) (= Z(G SC ; F
nr
v ) d’après l’hypothèse
v ∈ V ram ) tel que σ(ν 0,sc ) = z(σ)ν 0,sc et σ(e 0 ) = z(σ)
−1 e 0 pour tous σ. On suppose
désormais que (ν 0 , e 0 ) vérifie cette hypothèse.
On peut identifier E 0 à la paire de Borel épinglée de G, munie de son action
galoisienne quasi-déployée. Notons μ 0 l’image du couple (ν 0 , e 0 ) dans (T
∗ /(1 −
θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). Ce terme dépend des choix effectués. Mais les groupes
T
∗ (o
nr
v ) et T
∗ (¯ o v ) agissent sur T
∗ et ces actions se descendent en des actions
sur (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). On vérifie que la classe T
∗ (o
nr
v )μ 0 ne dépend
pas des choix, a fortiori la classe T
∗ (¯ o v )μ 0 n’en dépend pas non plus. Remarquons
que l’on obtiendrait les mêmes classes en remplaçant μ 0 par l’image du couple
(1, e 0 ). On a
(6) ces classes sont invariantes par l’action de W
θ
∗ .
Preuve. Le couple (1, e 0 ) étant invariant par W
θ
∗ , la seule chose à prouver est
que les sous-groupes T
∗ (o
nr
v ) et T
∗ (¯ o v ) le sont aussi. C’est immédiat puisque, le
groupe G étant non ramifié en v, tout élément de W définit un automorphisme de
T
∗ défini sur F
nr
v .
On pose μ( ˜
K v ) = T
∗ (¯ o v )μ 0 .
VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié
On fixe v ∈ V ram . Soit X ∈ Stab( ˜
G(F v )). Fixons (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F v )) d’image
X et relevons μ en un couple (ν, ¯
e), avec ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G). Considérons les
conditions suivantes :
(nr1) pour tout α ∈ Σ(T
∗ ), (N α)(ν) ∈ ¯ o
×
v ;
(nr2) (type 1) pour α ∈ Σ(T
∗ ) de type 1, la relation (N α)(ν) = 1 entraîne que
la réduction dans ¯
F v de (N α)(ν) est différente de 1 ;
Chapitre VII. Descente globale
un cobord. Il existe donc t ∈ T 0 (o
nr
v ) tel que yσ(y)
−1 = tσ(t)
−1 pour tout σ ∈
Gal(F
nr
v /E). On pose x = t
−1 y. Alors x ∈ K
nr
v et xφ
N (x)
−1 = 1, donc x ∈ K
E
v .
De plus xφ(x)
−1 relève u(φ). Par la relation de cocycle, xσ(x)
−1 relève donc u(σ)
pour tout σ ∈ Gal(E/F v ). Cela prouve (5).
On a vu en [I] 6.1 (5) et (6) qu’il existait un couple (ν 0 , e 0 ) tel que ν 0 ∈
T 0 (o
nr
v ), e 0 ∈ Z( ˜
G, E 0 )(F
nr
v ) et ν 0 e 0 ∈ ˜
K v . L’hypothèse v ∈ V ram implique que p
est «grand», donc que l’image naturelle de X ∗ (T 0,sc ) dans X ∗ (T 0,ad ) est d’indice
premier à p. Puisqu’extraire des racines d’ordre premier à p d’unités ne crée que
des extensions non-ramifiées, l’application
T 0,sc (o
nr
v ) → T 0,ad (o
nr
v )
est surjective. Quitte à multiplier ν 0 par un élément de Z(G; F
nr
v ) ∩ T 0 (o
nr
v ) et e 0
par l’inverse de cet élément, on peut donc supposer qu’il existe ν 0,sc ∈ T 0,sc (o
nr
v ) tel
que ν 0 = π(ν 0,sc ). La condition ν 0 e 0 ∈ ˜
G(F v ) implique alors qu’il existe un cocycle
non ramifié σ → z(σ) de Γ Fv dans Z(G SC ) (= Z(G SC ; F
nr
v ) d’après l’hypothèse
v ∈ V ram ) tel que σ(ν 0,sc ) = z(σ)ν 0,sc et σ(e 0 ) = z(σ)
−1 e 0 pour tous σ. On suppose
désormais que (ν 0 , e 0 ) vérifie cette hypothèse.
On peut identifier E 0 à la paire de Borel épinglée de G, munie de son action
galoisienne quasi-déployée. Notons μ 0 l’image du couple (ν 0 , e 0 ) dans (T
∗ /(1 −
θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). Ce terme dépend des choix effectués. Mais les groupes
T
∗ (o
nr
v ) et T
∗ (¯ o v ) agissent sur T
∗ et ces actions se descendent en des actions
sur (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G). On vérifie que la classe T
∗ (o
nr
v )μ 0 ne dépend
pas des choix, a fortiori la classe T
∗ (¯ o v )μ 0 n’en dépend pas non plus. Remarquons
que l’on obtiendrait les mêmes classes en remplaçant μ 0 par l’image du couple
(1, e 0 ). On a
(6) ces classes sont invariantes par l’action de W
θ
∗ .
Preuve. Le couple (1, e 0 ) étant invariant par W
θ
∗ , la seule chose à prouver est
que les sous-groupes T
∗ (o
nr
v ) et T
∗ (¯ o v ) le sont aussi. C’est immédiat puisque, le
groupe G étant non ramifié en v, tout élément de W définit un automorphisme de
T
∗ défini sur F
nr
v .
On pose μ( ˜
K v ) = T
∗ (¯ o v )μ 0 .
VII.1.6 Paramètres dans le cas local non ramifié
On fixe v ∈ V ram . Soit X ∈ Stab( ˜
G(F v )). Fixons (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F v )) d’image
X et relevons μ en un couple (ν, ¯
e), avec ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G). Considérons les
conditions suivantes :
(nr1) pour tout α ∈ Σ(T
∗ ), (N α)(ν) ∈ ¯ o
×
v ;
(nr2) (type 1) pour α ∈ Σ(T
∗ ) de type 1, la relation (N α)(ν) = 1 entraîne que
la réduction dans ¯
F v de (N α)(ν) est différente de 1 ;