VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
759
On a
(4) le noyau de Res Iv est l’annulateur dans H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) de l’image de K v
dans G ab (F v ).
Preuve. Supposons d’abord que G soit un tore, notons-le plutôt T 0 . On a alors
K v = T 0 (o v ). On a le diagramme de suites exactes
1 → H
1 (W
nr
v ; ˆ
T 0 ) → H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 )
ResI v
→
H
1 (I v ; ˆ
T 0 )
0 ←
X ∗ (T 0 )
Γ
nr
v
←
T 0 (F v )
←
T 0 (o v ) .
Le groupe H
1 (W
nr
v ; ˆ
T 0 ) s’identifie au quotient des coinvariants ˆ
T 0,Γ nr
v
, qui s’identifie lui-même à Hom(X ∗ (T 0 )
Γ
nr
v ; C
× ). Les flèches de gauche du diagramme ci-dessus
sont compatibles à cette dualité et à celle entre H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 ) et T 0 (F v ). Un élément de H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 ) appartient au noyau de Res Iv si et seulement s’il provient
d’un élément de H
1 (W
nr
v ; ˆ
T 0 ), ou encore si et seulement si le caractère de T 0 (F v )
qu’il définit se quotiente en un caractère de X ∗ (T 0 )
Γ
nr
v , ou encore si et seulement
si ce caractère de T 0 (F v ) annule T 0 (o v ). Cela prouve (4) pour un tore.
Passons au cas général. Avec les notations introduites plus haut, on a le
diagramme commutatif
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 )
Res Iv ↓
Res Iv ↓
H
1 (I v ; Z( ˆ
G))
→
H
1 (I v ; ˆ
T 0 ) .
Les flèches horizontales sont injectives : par des suites exactes de cohomologie,
cela résulte de la connexité de ˆ
T
ΓF v
0,ad et ˆ
T
Iv
0,ad . Un élément χ ∈ H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G))
appartient donc au noyau de Res Iv si et seulement si son image dans H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 )
appartient au noyau de l’application similaire. D’après ce que l’on a déjà prouvé,
cela équivaut à ce que χ annule l’image de T 0 (o v ) dans G ab (F v ). D’après (2), cette
image est aussi celle de K v .
On note précisément W le groupe de Weyl de G relatif à T 0 . Soit E une
extension finie non ramifiée de F v telle que G soit déployé sur E. Montrons que
(5) soit u : Gal(E/F v ) → W un cocycle ; alors il existe x ∈ K
E
v tel que, pour
tout σ ∈ Gal(E/F v ), xσ(x)
−1 normalise T 0 et ait u(σ) pour image dans W .
Fixons un Frobenius φ ∈ Γ Fv . On peut relever u(φ) en un élément de K
nr
v qui
normalise T 0 . On peut même supposer que cet élément appartient à un sous-groupe
invariant par Γ
nr
v dont tous les éléments sont d’ordre fini (le groupe engendré
par l’image d’une section de Springer et tous les éléments d’ordre au plus 2 de
T 0 (o
nr
v ) convient). Appliquant [79] 4.2(2), il existe y ∈ K
nr
v tel que yφ(y)
−1 soit
un relèvement de u(φ) dans le normalisateur de T 0 . Notons N = [E : F v ]. Alors
yφ
N (y)
−1 relève u(φ
N ) = 1 donc appartient à T 0 ∩ K
nr
v = T 0 (o
nr
v ). L’application
σ → yσ(y)
−1 est un cocycle de Gal(F
nr
v /E) dans T 0 (o
nr
v ). Un tel cocycle est
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On a
(4) le noyau de Res Iv est l’annulateur dans H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) de l’image de K v
dans G ab (F v ).
Preuve. Supposons d’abord que G soit un tore, notons-le plutôt T 0 . On a alors
K v = T 0 (o v ). On a le diagramme de suites exactes
1 → H
1 (W
nr
v ; ˆ
T 0 ) → H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 )
ResI v
→
H
1 (I v ; ˆ
T 0 )
0 ←
X ∗ (T 0 )
Γ
nr
v
←
T 0 (F v )
←
T 0 (o v ) .
Le groupe H
1 (W
nr
v ; ˆ
T 0 ) s’identifie au quotient des coinvariants ˆ
T 0,Γ nr
v
, qui s’identifie lui-même à Hom(X ∗ (T 0 )
Γ
nr
v ; C
× ). Les flèches de gauche du diagramme ci-dessus
sont compatibles à cette dualité et à celle entre H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 ) et T 0 (F v ). Un élément de H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 ) appartient au noyau de Res Iv si et seulement s’il provient
d’un élément de H
1 (W
nr
v ; ˆ
T 0 ), ou encore si et seulement si le caractère de T 0 (F v )
qu’il définit se quotiente en un caractère de X ∗ (T 0 )
Γ
nr
v , ou encore si et seulement
si ce caractère de T 0 (F v ) annule T 0 (o v ). Cela prouve (4) pour un tore.
Passons au cas général. Avec les notations introduites plus haut, on a le
diagramme commutatif
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 )
Res Iv ↓
Res Iv ↓
H
1 (I v ; Z( ˆ
G))
→
H
1 (I v ; ˆ
T 0 ) .
Les flèches horizontales sont injectives : par des suites exactes de cohomologie,
cela résulte de la connexité de ˆ
T
ΓF v
0,ad et ˆ
T
Iv
0,ad . Un élément χ ∈ H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G))
appartient donc au noyau de Res Iv si et seulement si son image dans H
1 (W Fv ; ˆ
T 0 )
appartient au noyau de l’application similaire. D’après ce que l’on a déjà prouvé,
cela équivaut à ce que χ annule l’image de T 0 (o v ) dans G ab (F v ). D’après (2), cette
image est aussi celle de K v .
On note précisément W le groupe de Weyl de G relatif à T 0 . Soit E une
extension finie non ramifiée de F v telle que G soit déployé sur E. Montrons que
(5) soit u : Gal(E/F v ) → W un cocycle ; alors il existe x ∈ K
E
v tel que, pour
tout σ ∈ Gal(E/F v ), xσ(x)
−1 normalise T 0 et ait u(σ) pour image dans W .
Fixons un Frobenius φ ∈ Γ Fv . On peut relever u(φ) en un élément de K
nr
v qui
normalise T 0 . On peut même supposer que cet élément appartient à un sous-groupe
invariant par Γ
nr
v dont tous les éléments sont d’ordre fini (le groupe engendré
par l’image d’une section de Springer et tous les éléments d’ordre au plus 2 de
T 0 (o
nr
v ) convient). Appliquant [79] 4.2(2), il existe y ∈ K
nr
v tel que yφ(y)
−1 soit
un relèvement de u(φ) dans le normalisateur de T 0 . Notons N = [E : F v ]. Alors
yφ
N (y)
−1 relève u(φ
N ) = 1 donc appartient à T 0 ∩ K
nr
v = T 0 (o
nr
v ). L’application
σ → yσ(y)
−1 est un cocycle de Gal(F
nr
v /E) dans T 0 (o
nr
v ). Un tel cocycle est