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Chapitre VII. Descente globale
On note p la caractéristique de F v . En [VI] 1.1, on a fixé un sous-groupe compact
hyperspécial K v de G(F v ) et un sous-espace hyperspécial ˜
K v de ˜
G(F v ). Au groupe
K v est associé un schéma en groupes lisse K v sur o v . On note K
nr
v = K v (o
nr
v ). Si E
est une extension finie de F non ramifiée en v et si w est une place de E au-dessus
de v, on utilise les notations o w etc. . . et K w = K v (o w ). Si E est une extension
non ramifiée de F v , on utilisera plutôt les notations o E etc. . . et K
E
v = K v (o E ). Le
groupe K v détermine des sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes G SC ,
G AD et G = G/Z(G)
θ . On les note K sc,v , K ad,v , K ,v .
On se rappelle que le groupe K v est issu d’une paire de Borel épinglée de
G définie sur F v . On fixe une telle paire E 0 = (B 0 , T 0 , (E 0,α ) α∈Δ ). Le tore T 0 est
non ramifié et a donc une structure naturelle sur o v . On a T 0 (o v ) = T 0 (F v ) ∩ K v .
D’après les théorèmes de structure de Bruhat et Tits, l’application
(1)
T 0 (o v ) × K sc,v → K v
(t, x)
→ tπ(x)
est surjective, où π : G SC → G est l’homomorphisme naturel.
On se rappelle le groupe G ab (F v ) de [I] 1.12. On a
G ab (F v ) = G(F v )/π(G SC (F v )).
Soit S un sous-tore maximal de G défini sur F v et non ramifié. On a
(2) S(o v ) et K v ont même image dans G ab (F v ).
Preuve. C’est clair d’après (1) si S = T 0 . Il suffit donc de prouver que, si S 1 et S 2
sont deux sous-tores maximaux de G définis sur F v et non ramifiés, on a
(3) S 1 (o v ) et S 2 (o v ) ont même image dans G ab (F v ).
Puisque S 1 et S 2 sont déployés sur F
nr
v , on peut fixer x ∈ G(F
nr
v ) de
sorte que S 2 = ad x (S 1 ). Soit s 1 ∈ S 1 (o v ), posons s 2 = xs 1 x
−1 . Alors s 2 ∈
S 2 (o
nr
v ). On sait que tout commutateur se relève canoniquement dans G SC . Cela
entraîne qu’il existe y ∈ G SC (F
nr
v ) tel que xs 1 x
−1 s
−1
1 = π(y). On a s 2 = π(y)s 1 .
Soit σ ∈ Γ
nr
v . On a σ(s 2 ) = π(σ(y))s 1 donc s 2 σ(s 2 )
−1 = π(yσ(y)
−1 ). Mais
s 2 σ(s 2 )
−1 appartient à S 2 (o
nr
v ) et l’image réciproque de ce groupe dans G SC (F
nr
v )
est S 2,sc (o
nr
v ). Donc yσ(y)
−1
∈ S 2,sc (o
nr
v ). L’application σ → yσ(y)
−1 est un cocycle et H
1 (Γ
nr
v ; S 2,sc (o
nr
v )) = {1}. On peut donc fixer u ∈ S 2,sc (o
nr
v ) tel que
yσ(y)
−1 = u
−1 σ(u) pour tout σ. Posons s
2 = π(u)s 2 et y
= uy. Alors y
∈
G SC (F v ), s
2 ∈ S 2 (o
nr
v ) et s
2 = π(y
)s 1 . Ces relations entraînent que s
2 ∈ S 2 (o v ).
De plus, puisque π(G SC (F v )) est le noyau de la projection G(F v ) → G ab (F v ), s
2
et s 1 ont même image dans G ab (F v ). Cela démontre que l’image dans ce groupe
de S 1 (o v ) est contenue dans celle de S 2 (o v ). En échangeant les rôles de S 1 et S 2 ,
on obtient l’égalité de ces images.
Rappelons que H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) est le groupe dual de G ab (F v ). Notons
Res Iv : H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) → H
1 (I v ; Z( ˆ
G))
l’homomorphisme de restriction.
Chapitre VII. Descente globale
On note p la caractéristique de F v . En [VI] 1.1, on a fixé un sous-groupe compact
hyperspécial K v de G(F v ) et un sous-espace hyperspécial ˜
K v de ˜
G(F v ). Au groupe
K v est associé un schéma en groupes lisse K v sur o v . On note K
nr
v = K v (o
nr
v ). Si E
est une extension finie de F non ramifiée en v et si w est une place de E au-dessus
de v, on utilise les notations o w etc. . . et K w = K v (o w ). Si E est une extension
non ramifiée de F v , on utilisera plutôt les notations o E etc. . . et K
E
v = K v (o E ). Le
groupe K v détermine des sous-groupes compacts hyperspéciaux des groupes G SC ,
G AD et G = G/Z(G)
θ . On les note K sc,v , K ad,v , K ,v .
On se rappelle que le groupe K v est issu d’une paire de Borel épinglée de
G définie sur F v . On fixe une telle paire E 0 = (B 0 , T 0 , (E 0,α ) α∈Δ ). Le tore T 0 est
non ramifié et a donc une structure naturelle sur o v . On a T 0 (o v ) = T 0 (F v ) ∩ K v .
D’après les théorèmes de structure de Bruhat et Tits, l’application
(1)
T 0 (o v ) × K sc,v → K v
(t, x)
→ tπ(x)
est surjective, où π : G SC → G est l’homomorphisme naturel.
On se rappelle le groupe G ab (F v ) de [I] 1.12. On a
G ab (F v ) = G(F v )/π(G SC (F v )).
Soit S un sous-tore maximal de G défini sur F v et non ramifié. On a
(2) S(o v ) et K v ont même image dans G ab (F v ).
Preuve. C’est clair d’après (1) si S = T 0 . Il suffit donc de prouver que, si S 1 et S 2
sont deux sous-tores maximaux de G définis sur F v et non ramifiés, on a
(3) S 1 (o v ) et S 2 (o v ) ont même image dans G ab (F v ).
Puisque S 1 et S 2 sont déployés sur F
nr
v , on peut fixer x ∈ G(F
nr
v ) de
sorte que S 2 = ad x (S 1 ). Soit s 1 ∈ S 1 (o v ), posons s 2 = xs 1 x
−1 . Alors s 2 ∈
S 2 (o
nr
v ). On sait que tout commutateur se relève canoniquement dans G SC . Cela
entraîne qu’il existe y ∈ G SC (F
nr
v ) tel que xs 1 x
−1 s
−1
1 = π(y). On a s 2 = π(y)s 1 .
Soit σ ∈ Γ
nr
v . On a σ(s 2 ) = π(σ(y))s 1 donc s 2 σ(s 2 )
−1 = π(yσ(y)
−1 ). Mais
s 2 σ(s 2 )
−1 appartient à S 2 (o
nr
v ) et l’image réciproque de ce groupe dans G SC (F
nr
v )
est S 2,sc (o
nr
v ). Donc yσ(y)
−1
∈ S 2,sc (o
nr
v ). L’application σ → yσ(y)
−1 est un cocycle et H
1 (Γ
nr
v ; S 2,sc (o
nr
v )) = {1}. On peut donc fixer u ∈ S 2,sc (o
nr
v ) tel que
yσ(y)
−1 = u
−1 σ(u) pour tout σ. Posons s
2 = π(u)s 2 et y
= uy. Alors y
∈
G SC (F v ), s
2 ∈ S 2 (o
nr
v ) et s
2 = π(y
)s 1 . Ces relations entraînent que s
2 ∈ S 2 (o v ).
De plus, puisque π(G SC (F v )) est le noyau de la projection G(F v ) → G ab (F v ), s
2
et s 1 ont même image dans G ab (F v ). Cela démontre que l’image dans ce groupe
de S 1 (o v ) est contenue dans celle de S 2 (o v ). En échangeant les rôles de S 1 et S 2 ,
on obtient l’égalité de ces images.
Rappelons que H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) est le groupe dual de G ab (F v ). Notons
Res Iv : H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) → H
1 (I v ; Z( ˆ
G))
l’homomorphisme de restriction.