VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
757
Preuve. On peut identifier E
∗ à une paire de Borel épinglée de G définie sur F .
L’action galoisienne quasi-déployée n’est autre que l’action naturelle.
Soit (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )). Le terme ω ¯
G est un cocycle de Γ F dans W .
D’après [44] corollaire 1.2, on peut fixer g sc ∈ G SC tel que, pour tout σ ∈ Γ F ,
g sc σ(g sc )
−1 normalise T
∗ et ait ω ¯
G (σ) pour image dans W . Le terme μ est un
élément de T
∗
× Z(G) Z( ˜
G, E
∗ ) et cet ensemble n’est autre que le centralisateur ˜
T
∗
de T
∗ dans ˜
G. Posons η = g sc μg
−1
sc . Parce que ω ¯
G (σ)σ fixe μ pour tout σ, on voit
que η ∈ ˜
G(F ). C’est un élément semi-simple. On pose (B , T ) = ad gsc (B
∗ , T
∗ ).
On vérifie immédiatement qu’en utilisant cette paire, la construction de 1.2 envoie
sur (μ, ω ¯
G ). En utilisant les notations de l’énoncé, on a B
∗
= ad gsc (B
∗
∩ G μ ) et
T = ad gsc (T
∗ ). Parce que ω ¯
G (σ)σ conserve Σ + (μ) pour tout σ, l’automorphisme
ad gscσ(gsc) −1 ◦σ conserve (B
∗
∩ G μ , T
∗ ). Donc σ conserve (B
∗
, T ).
VII.1.4 Le cas local
Dans les trois paragraphes précédents, le corps de base F était notre corps de
nombres. En fait, on peut le remplacer par un corps local de caractéristique nulle,
tout reste vrai à l’exception suivante près.
Exception. C’est la dernière assertion de 1.2 dans le cas où F est archimédien.
Dans ce cas, les conditions (4) et (5) de 1.2 ne sont plus équivalentes. Dans les
chapitres précédents, on a choisi la condition (4) pour définir l’ellipticité. Mais la
dernière assertion de 1.2 n’est vraie que si on utilise la condition (5).
En particulier, pour une place v de notre corps de nombres F , on définit
les ensembles Stab( ˜
G(F v )) et Stab( ˜
G(F v )). Il y a une application naturelle de
localisation Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F v )) : à (μ, ω ¯
G ), on associe (μ, ω ¯
Gv ), où ω ¯
Gv
est la restriction de ω ¯
G à Γ Fv . Cette application se quotiente en une application
Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F v )). Le diagramme suivant est commutatif
˜
G ss (F )/ st-conj → ˜
G ss (F v )/ st-conj
χ
˜
G ↓
↓ χ
˜
Gv
Stab( ˜
G(F ))
→
Stab( ˜
G(F v )) .
On peut remplacer la place v par un ensemble fini V de places de F : on définit
Stab( ˜
G(F V )) =
v∈V Stab( ˜
G(F v )) et on a des propriétés analogues.
VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié
Fixons une place finie v ∈ V ram . Nous allons d’abord fixer les notations qui seront
utilisées dans toute la suite du chapitre. On note o v l’anneau des entiers de F v , o
×
v
le groupe d’unités et F v le corps résiduel. On note ¯ o v , ¯ o
×
v et ¯
F v , resp. o
nr
v , o
nr,×
v
,
¯
F v , les objets analogues pour la clôture algébrique ¯
F v , resp. pour la plus grande
extension non-ramifiée F
nr
v contenue dans ¯
F v . On pose Γ
nr
v = Gal(F
nr
v /F v ) et on
note I v ⊂ Γ Fv le groupe d’inertie. On a aussi I v ⊂ W Fv et on pose W
nr
v = W Fv /I v .
757
Preuve. On peut identifier E
∗ à une paire de Borel épinglée de G définie sur F .
L’action galoisienne quasi-déployée n’est autre que l’action naturelle.
Soit (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )). Le terme ω ¯
G est un cocycle de Γ F dans W .
D’après [44] corollaire 1.2, on peut fixer g sc ∈ G SC tel que, pour tout σ ∈ Γ F ,
g sc σ(g sc )
−1 normalise T
∗ et ait ω ¯
G (σ) pour image dans W . Le terme μ est un
élément de T
∗
× Z(G) Z( ˜
G, E
∗ ) et cet ensemble n’est autre que le centralisateur ˜
T
∗
de T
∗ dans ˜
G. Posons η = g sc μg
−1
sc . Parce que ω ¯
G (σ)σ fixe μ pour tout σ, on voit
que η ∈ ˜
G(F ). C’est un élément semi-simple. On pose (B , T ) = ad gsc (B
∗ , T
∗ ).
On vérifie immédiatement qu’en utilisant cette paire, la construction de 1.2 envoie
sur (μ, ω ¯
G ). En utilisant les notations de l’énoncé, on a B
∗
= ad gsc (B
∗
∩ G μ ) et
T = ad gsc (T
∗ ). Parce que ω ¯
G (σ)σ conserve Σ + (μ) pour tout σ, l’automorphisme
ad gscσ(gsc) −1 ◦σ conserve (B
∗
∩ G μ , T
∗ ). Donc σ conserve (B
∗
, T ).
VII.1.4 Le cas local
Dans les trois paragraphes précédents, le corps de base F était notre corps de
nombres. En fait, on peut le remplacer par un corps local de caractéristique nulle,
tout reste vrai à l’exception suivante près.
Exception. C’est la dernière assertion de 1.2 dans le cas où F est archimédien.
Dans ce cas, les conditions (4) et (5) de 1.2 ne sont plus équivalentes. Dans les
chapitres précédents, on a choisi la condition (4) pour définir l’ellipticité. Mais la
dernière assertion de 1.2 n’est vraie que si on utilise la condition (5).
En particulier, pour une place v de notre corps de nombres F , on définit
les ensembles Stab( ˜
G(F v )) et Stab( ˜
G(F v )). Il y a une application naturelle de
localisation Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F v )) : à (μ, ω ¯
G ), on associe (μ, ω ¯
Gv ), où ω ¯
Gv
est la restriction de ω ¯
G à Γ Fv . Cette application se quotiente en une application
Stab( ˜
G(F )) → Stab( ˜
G(F v )). Le diagramme suivant est commutatif
˜
G ss (F )/ st-conj → ˜
G ss (F v )/ st-conj
χ
˜
G ↓
↓ χ
˜
Gv
Stab( ˜
G(F ))
→
Stab( ˜
G(F v )) .
On peut remplacer la place v par un ensemble fini V de places de F : on définit
Stab( ˜
G(F V )) =
v∈V Stab( ˜
G(F v )) et on a des propriétés analogues.
VII.1.5 Rappels sur le cas local non ramifié
Fixons une place finie v ∈ V ram . Nous allons d’abord fixer les notations qui seront
utilisées dans toute la suite du chapitre. On note o v l’anneau des entiers de F v , o
×
v
le groupe d’unités et F v le corps résiduel. On note ¯ o v , ¯ o
×
v et ¯
F v , resp. o
nr
v , o
nr,×
v
,
¯
F v , les objets analogues pour la clôture algébrique ¯
F v , resp. pour la plus grande
extension non-ramifiée F
nr
v contenue dans ¯
F v . On pose Γ
nr
v = Gal(F
nr
v /F v ) et on
note I v ⊂ Γ Fv le groupe d’inertie. On a aussi I v ⊂ W Fv et on pose W
nr
v = W Fv /I v .