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Chapitre VII. Descente globale
Notons ˜
G ss (F )/ st-conj l’ensemble des classes de conjugaison stable semisimples dans ˜
G(F ). La proposition nous fournit une application que l’on note
χ
˜
G : ˜
G ss (F )/ st-conj → Stab( ˜
G(F )).
Celle-ci est injective d’après le (iv) de la proposition.
Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). Modulo divers choix, on lui associe un groupe ¯
G
comme en 1.1. En introduisant les tores «standard» ˆ
T et ˆ ¯
T des groupes duaux
ˆ
G et ˆ ¯
G, on peut identifier ˆ ¯
T à ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ), muni d’une action galoisienne
σ → ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ . Un calcul de système de racines déjà fait plusieurs fois montre
que Z( ˆ
G) s’envoie dans Z( ˆ ¯
G). Ainsi, la donnée a se pousse en un élément de
H
1 (W F ; Z( ˆ ¯
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ ¯
G)). Celui-ci détermine un caractère automorphe de
¯
G(A F ). On voit que la paire formée du groupe ¯
G et de ce caractère ne dépend des
choix qu’à isomorphisme près.
Soient η ∈ ˜
G ss (F ) et (B, T ) une paire de Borel conservée par ad η . On peut
utiliser l’élément η pour construire le groupe ¯
G associé comme en 1.1 au couple
(μ η , ω η ). Ce groupe n’est autre qu’une forme quasi-déployée du groupe G η . Le
caractère automorphe ci-dessus de ¯
G(A F ) se transfère en un caractère automorphe
de G η (A F ), qui n’est autre que la restriction de ω à ce groupe.
Rappelons que l’on dit qu’un élément η ∈ ˜
G ss (F ) est elliptique s’il vérifie les
conditions équivalentes
(4) il existe un sous-tore tordu ˜
T de ˜
G défini sur F et elliptique (c’est-à-dire tel
que T
ΓF ,θ,0 = Z(G)
ΓF ,θ,0 ) tel que η ∈ ˜
T (F ) ;
(5) on a l’égalité Z(G η )
ΓF ,0 = Z(G)
ΓF ,θ,0 .
On note ˜
G(F ) ell l’ensemble des éléments elliptiques de ˜
G ss (F ). Cet ensemble
est invariant par conjugaison stable. On voit qu’une classe de conjugaison stable
semi-simple est formée d’éléments elliptiques si et seulement si son image par χ
˜
G
appartient à Stab ell ( ˜
G(F )).
VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure
Lemme. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
(i) L’application χ
˜
G est bijective.
(ii) Plus précisément, pour (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )), il existe ∈ ˜
G ss (F ) et une
paire de Borel (B , T ) tels que
– ad conserve (B , T ) ;
– en utilisant la paire (B , T ) dans la construction de 1.2, on a l’égalité
(μ , ω ) = (μ, ω ¯
G ) ;
– G est quasi-déployé et la paire de Borel (B
∗
, T ) = (G ∩ B , T ) de ce
groupe est définie sur F .
Chapitre VII. Descente globale
Notons ˜
G ss (F )/ st-conj l’ensemble des classes de conjugaison stable semisimples dans ˜
G(F ). La proposition nous fournit une application que l’on note
χ
˜
G : ˜
G ss (F )/ st-conj → Stab( ˜
G(F )).
Celle-ci est injective d’après le (iv) de la proposition.
Soit X ∈ Stab( ˜
G(F )). Modulo divers choix, on lui associe un groupe ¯
G
comme en 1.1. En introduisant les tores «standard» ˆ
T et ˆ ¯
T des groupes duaux
ˆ
G et ˆ ¯
G, on peut identifier ˆ ¯
T à ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ), muni d’une action galoisienne
σ → ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ . Un calcul de système de racines déjà fait plusieurs fois montre
que Z( ˆ
G) s’envoie dans Z( ˆ ¯
G). Ainsi, la donnée a se pousse en un élément de
H
1 (W F ; Z( ˆ ¯
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ ¯
G)). Celui-ci détermine un caractère automorphe de
¯
G(A F ). On voit que la paire formée du groupe ¯
G et de ce caractère ne dépend des
choix qu’à isomorphisme près.
Soient η ∈ ˜
G ss (F ) et (B, T ) une paire de Borel conservée par ad η . On peut
utiliser l’élément η pour construire le groupe ¯
G associé comme en 1.1 au couple
(μ η , ω η ). Ce groupe n’est autre qu’une forme quasi-déployée du groupe G η . Le
caractère automorphe ci-dessus de ¯
G(A F ) se transfère en un caractère automorphe
de G η (A F ), qui n’est autre que la restriction de ω à ce groupe.
Rappelons que l’on dit qu’un élément η ∈ ˜
G ss (F ) est elliptique s’il vérifie les
conditions équivalentes
(4) il existe un sous-tore tordu ˜
T de ˜
G défini sur F et elliptique (c’est-à-dire tel
que T
ΓF ,θ,0 = Z(G)
ΓF ,θ,0 ) tel que η ∈ ˜
T (F ) ;
(5) on a l’égalité Z(G η )
ΓF ,0 = Z(G)
ΓF ,θ,0 .
On note ˜
G(F ) ell l’ensemble des éléments elliptiques de ˜
G ss (F ). Cet ensemble
est invariant par conjugaison stable. On voit qu’une classe de conjugaison stable
semi-simple est formée d’éléments elliptiques si et seulement si son image par χ
˜
G
appartient à Stab ell ( ˜
G(F )).
VII.1.3 Le cas quasi-déployé à torsion intérieure
Lemme. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
(i) L’application χ
˜
G est bijective.
(ii) Plus précisément, pour (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )), il existe ∈ ˜
G ss (F ) et une
paire de Borel (B , T ) tels que
– ad conserve (B , T ) ;
– en utilisant la paire (B , T ) dans la construction de 1.2, on a l’égalité
(μ , ω ) = (μ, ω ¯
G ) ;
– G est quasi-déployé et la paire de Borel (B
∗
, T ) = (G ∩ B , T ) de ce
groupe est définie sur F .