VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
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est l’image dans W de ζ(σ)v η (σ). Ces images ne sont autres que μ η et ω η . Cela
prouve que (μ η , ω η ) = (μ η , ω η ).
Inversement, soient η, η
, (B, T ) et (B
, T
) comme en (iii) et supposons que
(μ η , ω η ) = (μ η , ω η ). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on
peut supposer être égale à E
∗ et on complète (B
, T
) en une paire de Borel épinglée
E
. On note comme plus haut les termes relatifs à η. On choisit d sc ∈ G SC tel que
ad dsc (E
) = E
∗ . L’élément e
= d
−1
sc ed sc appartient à Z( ˜
G, E
). On peut écrire η
=
ν
e
, avec ν
∈ T
. L’hypothèse μ η = μ η signifie que ν et d sc ν
d
−1
sc ont même image
dans T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). On peut choisir τ ∈ T
∗ de sorte que τd sc ν
d
−1
sc θ
∗ (τ )
−1 = ν.
Posons y = τd sc . Alors y
−1 ηy = η
et ad y −1 (B, T ) = ad y −1 (B
∗ , T
∗ ) = (B
, T
).
On peut choisir u E (σ) = d
−1
sc u E ∗ (σ)σ(d sc ). Choisissons une cochaîne u η relative
à η
et E
. Alors
v η (σ) = u η (σ)σ(d sc )
−1 u E ∗ (σ)
−1 d sc .
L’hypothèse ω η = ω η signifie que les deux éléments d sc v η (σ)d
−1
sc et v η (σ) ont
même image dans W . Autrement dit, on a la relation
d sc u η (σ)σ(d sc )
−1 u E ∗ (σ)
−1
∈ T
∗ u η (σ)u E ∗ (σ)
−1 ,
ou encore
d sc u η (σ)σ(d sc )
−1
∈ T
∗ u η (σ).
On peut multiplier cette relation à gauche par τ et à droite par σ(τ )
−1 . Parce que
u η (σ) ◦ σ conserve T
∗ , on obtient
yu η (σ)σ(y)
−1
∈ T
∗ u η (σ),
ou encore
yu η (σ)y
−1 yσ(y)
−1
∈ T
∗ u η (σ).
Les éléments yu η (σ)y
−1 et u η (σ) appartiennent à G η . Parce que y
−1 ηy = η
,
l’élément yσ(y)
−1 appartient au commutant Z G (η). On peut donc remplacer dans
la relation ci-dessus le tore T
∗ par son intersection avec Z G (η), autrement dit par
T
∗,θ
∗ . Mais ce groupe est égal à Z(G)
θ T
∗,θ
∗ ,0 , donc contenu dans I η . La relation
précédente entraîne alors que yσ(y)
−1
∈ I η . Donc y ∈ Y η , ce qui achève la preuve
de (iii).
Prouvons (iv). Soient η, η
, (B, T ) et (B
, T
) comme en (iv). Supposons η et
η
stablement conjugués, fixons y ∈ Y η tel que η
= y
−1 ηy. La paire ad y −1 (B, T )
est conservée par ad η . On peut remplacer (B
, T
) par cette paire ad y −1 (B, T )
puisque, d’après (ii), cela ne change pas l’image de (μ η , ω η ) dans Stab( ˜
G(F )).
Mais alors, d’après (iii), on a (μ η , ω η ) = (μ η , ω η ). A fortiori, ces termes ont
même image dans Stab( ˜
G(F )). Inversement, supposons que (μ η , ω η ) et (μ η , ω η )
ont même image dans Stab( ˜
G(F )). D’après (3), on peut changer la paire (B
, T
)
de sorte que l’on ait l’égalité (μ η , ω η ) = (μ η , ω η ). Alors (iii) implique que η et η
sont stablement conjugués.