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Chapitre VII. Descente globale
(3) Soit (μ η , ω η ) le couple associé à η et à une paire de Borel (B, T ). Soit
(μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )) un couple conjugué à (μ η , ω η ). Alors il existe une
autre paire de Borel (B, T ) conservée par ad η de sorte que
– (μ
, ω ¯
G ) soit le couple associé à η et à cette paire (B, T ) ;
– T = T et B ∩ G η = B ∩ G η .
Preuve. On introduit E et e comme au début du paragraphe et on identifie E à
E
∗ . D’après 1.1(4)(ii), on peut fixer w ∈ W
θ
∗ de sorte que (μ
, ω ¯
G ) = w(μ η , ω η )
et w(Σ + (μ η )) = Σ + (μ
). Relevons l’élément w
−1 en un élément x ∈ G SC,e qui
normalise T = T
∗ . On pose E = ad x (E). La preuve de (ii) montre que cette paire
vérifie les propriétés requises, pourvu que l’on montre que B ∩ G η = B ∩ G η (cette
propriété entraîne que l’on peut prendre y = 1 donc le w que l’on vient de choisir
est le même que plus haut). Or l’égalité w(Σ + (μ η )) = Σ + (μ
) entraîne que les
racines de T
∗ dans le radical unipotent de B ∩ G η sont positives pour B = B
∗ .
Autrement dit B ∩ G η ⊂ B. D’où forcément B ∩ G η = B ∩ G η . Cela prouve (3).
Prouvons (iii). Soient η, η
, (B, T ) et (B
, T
) comme en (iii). Supposons qu’il
existe y ∈ Y η tel que η
= y
−1 ηy et (B
, T
) = ad y −1 (B, T ). On fixe un tel y et on
le décompose en y = y sc z, avec y sc ∈ G SC et z ∈ Z(G) (on identifie ici y sc à son
image dans G). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on identifie
à E
∗ . On complète (B
, T
) en la paire de Borel épinglée E
= ad y
−1
sc
(E
∗ ). On affecte
d’un
les objets relatifs à η
et E
. On a η
= y
−1 ηy = y
−1
sc νy sc z
−1 θ(z)y
−1
sc ey sc .
On peut prendre ν
= y
−1
sc νy sc z
−1 θ(z) et e
= y
−1
sc ey sc . On peut prendre u E (σ) =
y
−1
sc u E ∗ (σ)σ(y sc ). Puisque ad uη(σ) ◦σ conserve (B
∗
∩ G η , T
∗,θ
∗ ,0 ), l’automorphisme
ad y −1 uη (σ) ◦σ ◦ ad y conserve (B
∩ G η , T
∩ G η ). On a
ad y −1 uη (σ) ◦σ ◦ ad y = ad y −1 uη (σ)σ(y) ◦σ.
Puisque σ(y) ∈ I η y, on peut écrire σ(y) = z(σ)x(σ)y, avec z(σ) ∈ Z(G) et x(σ) ∈
G SC,η . Alors
ad y −1 uη (σ) ◦σ ◦ ad y = ad y −1 uη(σ)x(σ)y ◦σ.
L’élément y
−1 u η (σ)x(σ)y = y
−1
sc u η (σ)x(σ)y sc appartient à G SC,η et on peut choisir u η (σ) = y
−1
sc u η (σ)x(σ)y sc . D’où
v η (σ) = y
−1
sc u η (σ)x(σ)y sc σ(y sc )
−1 u E ∗ (σ)
−1 y
−1
sc .
On a
x(σ)y sc σ(y sc )
−1 = z(σ)
−1 σ(y)y
−1 y sc σ(y sc )
−1 .
Ceci est un élément de Z(G), notons-le ζ(σ). Alors
v η (σ) = ζ(σ)y
−1
sc v η (σ)y sc .
Le couple (μ η , ω η ) se déduit de ν
, e
, v η en ramenant ces objets à E
∗ par l’isomorphisme ad ysc . Autrement dit, μ η est l’image naturelle de (νz
−1 θ(z), e) et ω η (σ)
Chapitre VII. Descente globale
(3) Soit (μ η , ω η ) le couple associé à η et à une paire de Borel (B, T ). Soit
(μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )) un couple conjugué à (μ η , ω η ). Alors il existe une
autre paire de Borel (B, T ) conservée par ad η de sorte que
– (μ
, ω ¯
G ) soit le couple associé à η et à cette paire (B, T ) ;
– T = T et B ∩ G η = B ∩ G η .
Preuve. On introduit E et e comme au début du paragraphe et on identifie E à
E
∗ . D’après 1.1(4)(ii), on peut fixer w ∈ W
θ
∗ de sorte que (μ
, ω ¯
G ) = w(μ η , ω η )
et w(Σ + (μ η )) = Σ + (μ
). Relevons l’élément w
−1 en un élément x ∈ G SC,e qui
normalise T = T
∗ . On pose E = ad x (E). La preuve de (ii) montre que cette paire
vérifie les propriétés requises, pourvu que l’on montre que B ∩ G η = B ∩ G η (cette
propriété entraîne que l’on peut prendre y = 1 donc le w que l’on vient de choisir
est le même que plus haut). Or l’égalité w(Σ + (μ η )) = Σ + (μ
) entraîne que les
racines de T
∗ dans le radical unipotent de B ∩ G η sont positives pour B = B
∗ .
Autrement dit B ∩ G η ⊂ B. D’où forcément B ∩ G η = B ∩ G η . Cela prouve (3).
Prouvons (iii). Soient η, η
, (B, T ) et (B
, T
) comme en (iii). Supposons qu’il
existe y ∈ Y η tel que η
= y
−1 ηy et (B
, T
) = ad y −1 (B, T ). On fixe un tel y et on
le décompose en y = y sc z, avec y sc ∈ G SC et z ∈ Z(G) (on identifie ici y sc à son
image dans G). On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée que l’on identifie
à E
∗ . On complète (B
, T
) en la paire de Borel épinglée E
= ad y
−1
sc
(E
∗ ). On affecte
d’un
les objets relatifs à η
et E
. On a η
= y
−1 ηy = y
−1
sc νy sc z
−1 θ(z)y
−1
sc ey sc .
On peut prendre ν
= y
−1
sc νy sc z
−1 θ(z) et e
= y
−1
sc ey sc . On peut prendre u E (σ) =
y
−1
sc u E ∗ (σ)σ(y sc ). Puisque ad uη(σ) ◦σ conserve (B
∗
∩ G η , T
∗,θ
∗ ,0 ), l’automorphisme
ad y −1 uη (σ) ◦σ ◦ ad y conserve (B
∩ G η , T
∩ G η ). On a
ad y −1 uη (σ) ◦σ ◦ ad y = ad y −1 uη (σ)σ(y) ◦σ.
Puisque σ(y) ∈ I η y, on peut écrire σ(y) = z(σ)x(σ)y, avec z(σ) ∈ Z(G) et x(σ) ∈
G SC,η . Alors
ad y −1 uη (σ) ◦σ ◦ ad y = ad y −1 uη(σ)x(σ)y ◦σ.
L’élément y
−1 u η (σ)x(σ)y = y
−1
sc u η (σ)x(σ)y sc appartient à G SC,η et on peut choisir u η (σ) = y
−1
sc u η (σ)x(σ)y sc . D’où
v η (σ) = y
−1
sc u η (σ)x(σ)y sc σ(y sc )
−1 u E ∗ (σ)
−1 y
−1
sc .
On a
x(σ)y sc σ(y sc )
−1 = z(σ)
−1 σ(y)y
−1 y sc σ(y sc )
−1 .
Ceci est un élément de Z(G), notons-le ζ(σ). Alors
v η (σ) = ζ(σ)y
−1
sc v η (σ)y sc .
Le couple (μ η , ω η ) se déduit de ν
, e
, v η en ramenant ces objets à E
∗ par l’isomorphisme ad ysc . Autrement dit, μ η est l’image naturelle de (νz
−1 θ(z), e) et ω η (σ)