VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
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donné par des automorphismes intérieurs de G η qui conservent (B ∩ G η , T
θ,0 ),
donc commutent à T . Mais l’automorphisme ω η (σ)σ G ∗ de T est égal à ad uη (σ) ◦σ.
Donc σ → ω η (σ)σ G ∗ est un homomorphisme de Γ F à valeurs dans le groupe d’automorphismes de T . Cela signifie que ω η est un cocycle.
De même, ω η (σ)σ G ∗ conserve Σ + (μ η ) parce que ad uη(σ) ◦σ conserve B ∩ G η .
Cela prouve (i).
Prouvons (ii). Changeons la paire (B, T ). D’après [I] 1.3(2), on ne peut que
la remplacer par une paire ad x ◦w(B, T ), où x ∈ G η et w ∈ W
θ . On sait que
G η ⊂ Z(G)G SC,η et que tout élément de W
θ se relève en un élément de G SC,e .
On est ramené à voir ce qui se passe quand on remplace E par ad x E, avec ou
bien x ∈ G SC,η , ou bien x ∈ G SC,e et normalise T . Comme dans la preuve de
(i), on peut supposer E = E
∗ . Dans les deux cas, on doit construire les objets
relatifs à E
∗ = ad x (E
∗ ), notons-les en les soulignant, puis les ramener à E
∗ par
l’isomorphisme canonique ad
−1
x . Dans le cas où x ∈ G SC,η , on a η = ad x (η) =
ad x (ν) ad x (e) et on peut prendre ν = ad x (ν), e = ad x (e). On peut aussi choisir
u E ∗ (σ) = xu E ∗ (σ)σ(x)
−1 et u η (σ) = xu η (σ)σ(x)
−1 . D’où v η (σ) = xv η (σ)x
−1 . En
ramenant les objets ν, e et v η par l’isomorphisme ad
−1
x , on retrouve les objets
initiaux, rien n’a changé. Dans le cas où x ∈ G SC,e et x normalise T , on a e =
ad x (e) ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). On peut prendre ν = ν, e = e. On peut encore prendre
u E ∗ (σ) = xu E ∗ (σ)σ(x)
−1 . En posant B = xB
∗ x
−1 , le couple (B ∩ G η , T
∗,θ
∗ ,0 ) est
une paire de Borel de G η et on peut fixer y ∈ G SC,η tel que cette paire soit égale
à ad y (B
∗
∩ G η , T
∗,θ
∗ ,0 ). On peut alors prendre u η (σ) = yu η (σ)σ(y)
−1 . Alors
v η (σ) = yu η (σ)σ(y
−1 x)u E ∗ (σ)
−1 x
−1 .
Ramenons les éléments ν, e et v η par l’isomorphisme ad
−1
x . On obtient respectivement les éléments ν
= x
−1 νx, e
= e, et
v
η (σ) = x
−1 yu η (σ)σ(y
−1 x)u E ∗ (σ)
−1
= x
−1 yv η (σ) ad u E ∗ (σ) ◦σ(y
−1 x).
Les éléments x et y normalisent T
∗ . Leurs images dans W sont fixes par θ
∗ ,
par hypothèse pour x, parce que y ∈ G η pour y. Donc x
−1 y définit un élément
w ∈ W
θ
∗ . En notant ω
η (σ) l’image de v
η (σ) dans W , on obtient
ω
η (σ) = wω η (σ)σ G ∗ (w)
−1 .
Parce que y normalise T
∗ et appartient à G η , un calcul déjà fait plusieurs fois
montre que yνy
−1 a même image que ν dans T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). Donc ν
= x
−1 νx
a même image que w(ν). Mais alors le couple (μ
η , ω
η ) construit à l’aide de E est
(w(μ η ), ω
η ), où ω
η est comme ci-dessus. Ce couple est conjugué à (μ η , ω η ), ce qui
prouve (ii).
Remarque. En inversant la preuve de (ii), on obtient le résultat suivant.
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donné par des automorphismes intérieurs de G η qui conservent (B ∩ G η , T
θ,0 ),
donc commutent à T . Mais l’automorphisme ω η (σ)σ G ∗ de T est égal à ad uη (σ) ◦σ.
Donc σ → ω η (σ)σ G ∗ est un homomorphisme de Γ F à valeurs dans le groupe d’automorphismes de T . Cela signifie que ω η est un cocycle.
De même, ω η (σ)σ G ∗ conserve Σ + (μ η ) parce que ad uη(σ) ◦σ conserve B ∩ G η .
Cela prouve (i).
Prouvons (ii). Changeons la paire (B, T ). D’après [I] 1.3(2), on ne peut que
la remplacer par une paire ad x ◦w(B, T ), où x ∈ G η et w ∈ W
θ . On sait que
G η ⊂ Z(G)G SC,η et que tout élément de W
θ se relève en un élément de G SC,e .
On est ramené à voir ce qui se passe quand on remplace E par ad x E, avec ou
bien x ∈ G SC,η , ou bien x ∈ G SC,e et normalise T . Comme dans la preuve de
(i), on peut supposer E = E
∗ . Dans les deux cas, on doit construire les objets
relatifs à E
∗ = ad x (E
∗ ), notons-les en les soulignant, puis les ramener à E
∗ par
l’isomorphisme canonique ad
−1
x . Dans le cas où x ∈ G SC,η , on a η = ad x (η) =
ad x (ν) ad x (e) et on peut prendre ν = ad x (ν), e = ad x (e). On peut aussi choisir
u E ∗ (σ) = xu E ∗ (σ)σ(x)
−1 et u η (σ) = xu η (σ)σ(x)
−1 . D’où v η (σ) = xv η (σ)x
−1 . En
ramenant les objets ν, e et v η par l’isomorphisme ad
−1
x , on retrouve les objets
initiaux, rien n’a changé. Dans le cas où x ∈ G SC,e et x normalise T , on a e =
ad x (e) ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). On peut prendre ν = ν, e = e. On peut encore prendre
u E ∗ (σ) = xu E ∗ (σ)σ(x)
−1 . En posant B = xB
∗ x
−1 , le couple (B ∩ G η , T
∗,θ
∗ ,0 ) est
une paire de Borel de G η et on peut fixer y ∈ G SC,η tel que cette paire soit égale
à ad y (B
∗
∩ G η , T
∗,θ
∗ ,0 ). On peut alors prendre u η (σ) = yu η (σ)σ(y)
−1 . Alors
v η (σ) = yu η (σ)σ(y
−1 x)u E ∗ (σ)
−1 x
−1 .
Ramenons les éléments ν, e et v η par l’isomorphisme ad
−1
x . On obtient respectivement les éléments ν
= x
−1 νx, e
= e, et
v
η (σ) = x
−1 yu η (σ)σ(y
−1 x)u E ∗ (σ)
−1
= x
−1 yv η (σ) ad u E ∗ (σ) ◦σ(y
−1 x).
Les éléments x et y normalisent T
∗ . Leurs images dans W sont fixes par θ
∗ ,
par hypothèse pour x, parce que y ∈ G η pour y. Donc x
−1 y définit un élément
w ∈ W
θ
∗ . En notant ω
η (σ) l’image de v
η (σ) dans W , on obtient
ω
η (σ) = wω η (σ)σ G ∗ (w)
−1 .
Parce que y normalise T
∗ et appartient à G η , un calcul déjà fait plusieurs fois
montre que yνy
−1 a même image que ν dans T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). Donc ν
= x
−1 νx
a même image que w(ν). Mais alors le couple (μ
η , ω
η ) construit à l’aide de E est
(w(μ η ), ω
η ), où ω
η est comme ci-dessus. Ce couple est conjugué à (μ η , ω η ), ce qui
prouve (ii).
Remarque. En inversant la preuve de (ii), on obtient le résultat suivant.