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Chapitre VII. Descente globale
à une telle multiplication. De même, il ne dépend pas des choix de cochaînes u E (σ)
et u η (σ). Il ne dépend pas de toute la paire de Borel épinglée E mais seulement de
la paire de Borel sous-jacente (B, T ). En effet, si on change seulement l’épinglage,
sans changer la paire de Borel sous-jacente, μ η ne change pas (cf. [I] preuve de
1.10(1)) et les éléments u E (σ) et u η (σ) sont multipliés par des éléments de T , ce
qui ne change pas ω η .
Proposition.
(i) Pour η ∈ ˜
G ss (F ), le couple (μ η , ω η ) construit ci-dessus appartient à
Stab( ˜
G(F )).
(ii) L’image de ce couple dans Stab( ˜
G(F )) ne dépend pas de la paire (B, T )
utilisée dans sa construction.
(iii) Soient η, η
∈ ˜
G ss (F ) et (B, T ), (B
, T
) des paires de Borel conservées respectivement par ad η et ad η . Les couples (μ η , ω η ) et (μ η , ω η ) déduits de ces
données sont égaux si et seulement s’il existe y ∈ Y η tel que η
= y
−1 ηy et
(B
, T
) = ad y −1 (B, T ).
(iv) Soient η, η
∈ ˜
G ss (F ) et (B, T ), (B
, T
) des paires de Borel conservées respectivement par ad η et ad η . Les couples (μ η , ω η ) et (μ η , ω η ) déduits de ces
données ont même image dans Stab( ˜
G(F )) si et seulement si η et η
sont
stablement conjugués.
Preuve. Pour démontrer (i), on peut identifier E à E
∗ . On a alors σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ
pour tout σ ∈ Γ F . Soulignons que cette formule définit une action galoisienne sur
G mais pas forcément sur ˜
G car l’action par conjugaison du cobord de la cochaîne
u E peut ne pas être triviale. Pour cette raison, on n’utilise la notation σ G ∗ que
pour l’action sur G.
On doit montrer que ω η (σ)σ G ∗ conserve μ η pour tout σ.
L’élément ω η (σ)σ G ∗ (μ η ) est l’image dans (T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G, E) de
(2)
(ad vη (σ) ◦σ G ∗ (ν), ad uE (σ) ◦σ(e)).
On sait que σ G ∗ conserve Z( ˜
G, E
∗ ), donc il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que
ad uE (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e.
Parce que ω η (σ) ∈ W
θ , on peut choisir n(σ) ∈ G e qui le relève et t(σ) ∈ T de sorte
que v η (σ) = t(σ)n(σ). On a alors ad vη (σ) ◦ ad uE (σ) ◦σ(e) = t(σ)θ(t(σ))
−1 z(σ)
−1 e.
Parce que η est fixe par Γ F et que u η (σ) ∈ G η , on a ad uη (σ) ◦σ(η) = η, ou encore
ad vη(σ) ◦ ad uE (σ) ◦σ(νe) = νe. Les deux relations précédentes entraînent
ad vη (σ) ◦σ G ∗ (ν) = t(σ)
−1 θ(t(σ))z(σ)ν.
Mais alors le couple (2) a bien pour image μ η dans (T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G, E).
On doit montrer que ω η est un cocycle. L’application qui, à σ ∈ Γ F , associe l’automorphisme ad uη (σ) ◦σ de T , est un homomorphisme : son cobord est
Chapitre VII. Descente globale
à une telle multiplication. De même, il ne dépend pas des choix de cochaînes u E (σ)
et u η (σ). Il ne dépend pas de toute la paire de Borel épinglée E mais seulement de
la paire de Borel sous-jacente (B, T ). En effet, si on change seulement l’épinglage,
sans changer la paire de Borel sous-jacente, μ η ne change pas (cf. [I] preuve de
1.10(1)) et les éléments u E (σ) et u η (σ) sont multipliés par des éléments de T , ce
qui ne change pas ω η .
Proposition.
(i) Pour η ∈ ˜
G ss (F ), le couple (μ η , ω η ) construit ci-dessus appartient à
Stab( ˜
G(F )).
(ii) L’image de ce couple dans Stab( ˜
G(F )) ne dépend pas de la paire (B, T )
utilisée dans sa construction.
(iii) Soient η, η
∈ ˜
G ss (F ) et (B, T ), (B
, T
) des paires de Borel conservées respectivement par ad η et ad η . Les couples (μ η , ω η ) et (μ η , ω η ) déduits de ces
données sont égaux si et seulement s’il existe y ∈ Y η tel que η
= y
−1 ηy et
(B
, T
) = ad y −1 (B, T ).
(iv) Soient η, η
∈ ˜
G ss (F ) et (B, T ), (B
, T
) des paires de Borel conservées respectivement par ad η et ad η . Les couples (μ η , ω η ) et (μ η , ω η ) déduits de ces
données ont même image dans Stab( ˜
G(F )) si et seulement si η et η
sont
stablement conjugués.
Preuve. Pour démontrer (i), on peut identifier E à E
∗ . On a alors σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ
pour tout σ ∈ Γ F . Soulignons que cette formule définit une action galoisienne sur
G mais pas forcément sur ˜
G car l’action par conjugaison du cobord de la cochaîne
u E peut ne pas être triviale. Pour cette raison, on n’utilise la notation σ G ∗ que
pour l’action sur G.
On doit montrer que ω η (σ)σ G ∗ conserve μ η pour tout σ.
L’élément ω η (σ)σ G ∗ (μ η ) est l’image dans (T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G, E) de
(2)
(ad vη (σ) ◦σ G ∗ (ν), ad uE (σ) ◦σ(e)).
On sait que σ G ∗ conserve Z( ˜
G, E
∗ ), donc il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que
ad uE (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e.
Parce que ω η (σ) ∈ W
θ , on peut choisir n(σ) ∈ G e qui le relève et t(σ) ∈ T de sorte
que v η (σ) = t(σ)n(σ). On a alors ad vη (σ) ◦ ad uE (σ) ◦σ(e) = t(σ)θ(t(σ))
−1 z(σ)
−1 e.
Parce que η est fixe par Γ F et que u η (σ) ∈ G η , on a ad uη (σ) ◦σ(η) = η, ou encore
ad vη(σ) ◦ ad uE (σ) ◦σ(νe) = νe. Les deux relations précédentes entraînent
ad vη (σ) ◦σ G ∗ (ν) = t(σ)
−1 θ(t(σ))z(σ)ν.
Mais alors le couple (2) a bien pour image μ η dans (T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G, E).
On doit montrer que ω η est un cocycle. L’application qui, à σ ∈ Γ F , associe l’automorphisme ad uη (σ) ◦σ de T , est un homomorphisme : son cobord est