VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
751
du relèvement η : c’est le sous-groupe des x ∈ T
∗,θ
∗ ,0 tels que α res (x) = 1 pour
tout α res ∈ Σ(μ). L’action galoisienne sur ce centre est σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗ . On dit
que (μ, ω ¯
G ) est elliptique si et seulement si on a l’égalité Z( ¯
G)
ΓF ,0 = Z(G)
ΓF ,θ,0
(on note simplement θ la restriction de θ
∗ à Z(G), ce qui est justifié par le fait
que c’est aussi la restriction de ad g ◦θ
∗ pour tout g ∈ G). Cette propriété est
conservée par conjugaison. On note Stab ell ( ˜
G(F )) le sous-ensemble des éléments
elliptiques de Stab( ˜
G(F )) et Stab ell ( ˜
G(F )) l’ensemble des classes de conjugaison
dans ce sous-ensemble.
VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples
Rappelons que l’on note ˜
G ss l’ensemble des éléments semi-simples de ˜
G. Pour
η ∈ ˜
G ss , on pose I η = Z(G)
θ G η . Pour η ∈ ˜
G ss (F ), on note Y η l’ensemble des
y ∈ G( ¯
F ) tels que yσ(y)
−1
∈ I η = I η ( ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F . On dit que deux
éléments η, η
∈ ˜
G ss (F ) sont stablement conjugués si et seulement s’il existe y ∈ Y η
tel que y
−1 ηy = η
.
Soit η ∈ ˜
G ss (F ). Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par ad η .
Complétons cette paire en une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ). Fixons
e ∈ Z( ˜
G, E) et posons θ = ad e . On introduit une cochaîne u E : Γ F → G SC de
sorte que ad uE (σ) ◦σ conserve E pour tout σ ∈ Γ F . L’action galoisienne naturelle
fixe η donc conserve G η . Le couple (B ∩ G η , T
θ,0 ) est une paire de Borel de G η .
On peut choisir une cochaîne u η : Γ F → G SC,η (G SC,η est le groupe des points
fixes de ad η dans G SC ) de sorte que ad uη(σ) ◦σ conserve cette paire de Borel pour
tout σ ∈ Γ F . Posons v η (σ) = u η (σ)u E (σ)
−1 . On a
(1) pour tout σ ∈ Γ F , v η (σ) normalise T et son image dans W est fixe par θ.
Preuve. On a ad vη(σ) = (ad uη (σ) ◦σ)(ad uE (σ) ◦σ)
−1 . Les deux facteurs conservent
T , donc ad vη (σ) aussi. Pour la seconde assertion, on doit montrer qu’il existe
t(σ) ∈ T de sorte que θ
−1 ad vη (σ) θ = ad t(σ) ad vη(σ) . Il suffit de vérifier la même
assertion pour chacun des facteurs ad uη (σ) ◦σ et ad uE (σ) ◦σ. Pour le deuxième,
c’est clair : il commute à θ. Pour le premier, on écrit η = νe avec ν ∈ T . Alors
θ = ad e = ad
−1
ν ad η . Le terme ad η commute à ad uη (σ) ◦σ car η est fixe par σ et
u η (σ) ∈ G η . Le terme ad
−1
ν ne commute pas à ad uη (σ) ◦σ mais vérifie la relation
plus faible que l’on souhaite simplement parce que ad uη(σ) ◦σ normalise T .
Ecrivons comme ci-dessus η = νe, avec ν ∈ T . Notons μ η l’image de (ν, e)
par les applications
T × Z( ˜
G, E) → (T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G, E) (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G).
Pour σ ∈ Γ F , notons ω η (σ) l’image dans W
θ
∗ de v η (σ), modulo l’isomorphisme
W
θ
W
θ
∗ .
Le couple (μ η , ω η ) ne dépend pas du choix de e : on ne peut changer e qu’en
le multipliant par un élément de Z(G) et on voit que la construction est insensible
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du relèvement η : c’est le sous-groupe des x ∈ T
∗,θ
∗ ,0 tels que α res (x) = 1 pour
tout α res ∈ Σ(μ). L’action galoisienne sur ce centre est σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗ . On dit
que (μ, ω ¯
G ) est elliptique si et seulement si on a l’égalité Z( ¯
G)
ΓF ,0 = Z(G)
ΓF ,θ,0
(on note simplement θ la restriction de θ
∗ à Z(G), ce qui est justifié par le fait
que c’est aussi la restriction de ad g ◦θ
∗ pour tout g ∈ G). Cette propriété est
conservée par conjugaison. On note Stab ell ( ˜
G(F )) le sous-ensemble des éléments
elliptiques de Stab( ˜
G(F )) et Stab ell ( ˜
G(F )) l’ensemble des classes de conjugaison
dans ce sous-ensemble.
VII.1.2 Classes de conjugaison stable semi-simples
Rappelons que l’on note ˜
G ss l’ensemble des éléments semi-simples de ˜
G. Pour
η ∈ ˜
G ss , on pose I η = Z(G)
θ G η . Pour η ∈ ˜
G ss (F ), on note Y η l’ensemble des
y ∈ G( ¯
F ) tels que yσ(y)
−1
∈ I η = I η ( ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F . On dit que deux
éléments η, η
∈ ˜
G ss (F ) sont stablement conjugués si et seulement s’il existe y ∈ Y η
tel que y
−1 ηy = η
.
Soit η ∈ ˜
G ss (F ). Fixons une paire de Borel (B, T ) de G conservée par ad η .
Complétons cette paire en une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ). Fixons
e ∈ Z( ˜
G, E) et posons θ = ad e . On introduit une cochaîne u E : Γ F → G SC de
sorte que ad uE (σ) ◦σ conserve E pour tout σ ∈ Γ F . L’action galoisienne naturelle
fixe η donc conserve G η . Le couple (B ∩ G η , T
θ,0 ) est une paire de Borel de G η .
On peut choisir une cochaîne u η : Γ F → G SC,η (G SC,η est le groupe des points
fixes de ad η dans G SC ) de sorte que ad uη(σ) ◦σ conserve cette paire de Borel pour
tout σ ∈ Γ F . Posons v η (σ) = u η (σ)u E (σ)
−1 . On a
(1) pour tout σ ∈ Γ F , v η (σ) normalise T et son image dans W est fixe par θ.
Preuve. On a ad vη(σ) = (ad uη (σ) ◦σ)(ad uE (σ) ◦σ)
−1 . Les deux facteurs conservent
T , donc ad vη (σ) aussi. Pour la seconde assertion, on doit montrer qu’il existe
t(σ) ∈ T de sorte que θ
−1 ad vη (σ) θ = ad t(σ) ad vη(σ) . Il suffit de vérifier la même
assertion pour chacun des facteurs ad uη (σ) ◦σ et ad uE (σ) ◦σ. Pour le deuxième,
c’est clair : il commute à θ. Pour le premier, on écrit η = νe avec ν ∈ T . Alors
θ = ad e = ad
−1
ν ad η . Le terme ad η commute à ad uη (σ) ◦σ car η est fixe par σ et
u η (σ) ∈ G η . Le terme ad
−1
ν ne commute pas à ad uη (σ) ◦σ mais vérifie la relation
plus faible que l’on souhaite simplement parce que ad uη(σ) ◦σ normalise T .
Ecrivons comme ci-dessus η = νe, avec ν ∈ T . Notons μ η l’image de (ν, e)
par les applications
T × Z( ˜
G, E) → (T /(1 − θ)(T )) × Z(G) Z( ˜
G, E) (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G).
Pour σ ∈ Γ F , notons ω η (σ) l’image dans W
θ
∗ de v η (σ), modulo l’isomorphisme
W
θ
W
θ
∗ .
Le couple (μ η , ω η ) ne dépend pas du choix de e : on ne peut changer e qu’en
le multipliant par un élément de Z(G) et on voit que la construction est insensible