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Chapitre VII. Descente globale
Disons que deux éléments (μ, ω ¯
G ) et (μ
, ω ¯
G ) de Stab( ˜
G(F )) sont équivalents si
et seulement si μ = μ
et ω ¯
G (σ) ∈ W (μ)ω ¯
G (σ) pour tout σ ∈ Γ F . On a
(3) Stab( ˜
G(F )) est un ensemble de représentants des classes d’équivalence dans
Stab( ˜
G(F )).
Preuve. Pour (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )) et σ ∈ Γ F , il existe un unique u(σ) ∈ W (μ) tel
que u(σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ conserve Σ + (μ). Posons ω
¯
G
(σ) = u(σ)ω ¯
G (σ). L’unicité de u(σ)
entraîne facilement que ω
¯
G
est encore un cocycle. Alors (μ, ω
¯
G
) est un élément
de Stab( ˜
G(F )) qui est équivalent à (μ, ω ¯
G ). D’autre part, il est immédiat que
deux éléments de Stab( ˜
G(F )) sont équivalent si et seulement s’ils sont égaux.
D’où (3).
Le groupe W
θ
∗ agit sur Stab( ˜
G(F )) de la façon suivante. Pour (μ, ω ¯
G ) ∈
Stab( ˜
G(F )) et w ∈ W
θ
∗ , l’image de (μ, ω ¯
G ) par w est le couple (μ
, ω ¯
G ) défini
par μ
= w(μ) et ω ¯
G (σ) = wω ¯
G (σ)σ G ∗ (w
−1 ) pour tout σ. Cette action respecte
la relation d’équivalence introduite ci-dessus. Montrons que
(4) soient (μ, ω ¯
G ) et (μ
, ω ¯
G ) deux éléments de Stab( ˜
G(F )) ; alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe w ∈ W
θ
∗ tel que (μ
, ω ¯
G ) = w(μ, ω ¯
G ) ;
(ii) il existe w ∈ W
θ
∗ tel que (μ
, ω ¯
G ) = w(μ, ω ¯
G ) et w(Σ + (μ)) = Σ + (μ
) ;
(iii) il existe w ∈ W
θ
∗ tel que (μ
, ω ¯
G ) et w(μ, ω ¯
G ) soient équivalents dans
Stab( ˜
G(F )).
Preuve. Evidemment, (ii) entraîne (i) et (i) entraîne (iii). Soit w vérifiant (iii). On a
w(μ) = μ
donc w envoie Σ(μ) dans Σ(μ
). Il existe un unique u ∈ W (μ
) tel que uw
envoie Σ + (μ) dans Σ + (μ
). Il est clair que (μ
, ω ¯
G ) et u(μ
, ω ¯
G ) sont équivalents.
Puisque (μ
, ω ¯
G ) et w(μ, ω ¯
G ) sont équivalents et que l’action de W
θ
∗ conserve
l’équivalence, u(μ
, ω ¯
G ) et uw(μ, ω ¯
G ) sont équivalents. Donc aussi (μ
, ω ¯
G ) et
uw(μ, ω ¯
G ). On peut donc remplacer w par uw, la condition (iii) reste vérifiée et
maintenant, w envoie Σ + (μ) dans Σ + (μ
). On voit que cette dernière condition
implique que w(μ, ω ¯
G ) vérifie (2), donc appartient à Stab( ˜
G(F )). Alors (μ
, ω ¯
G )
et w(μ, ω ¯
G ) sont deux éléments équivalents de Stab( ˜
G(F )). Ils sont donc égaux et
la conclusion de (ii) est vérifiée.
Pour deux éléments (μ, ω ¯
G ), (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )), on dit qu’ils sont conjugués si et seulement s’ils vérifient les trois conditions équivalentes ci-dessus. On
note Stab( ˜
G(F )) l’ensemble des classes de conjugaison. Cet ensemble est en bijection avec celui des classes de conjugaison par W
θ
∗ dans Stab( ˜
G(F )).
Soit (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )). Comme plus haut, relevons μ en un élément
η ∈ ˜
G et définissons le groupe ¯
G. Complétons la paire de Borel ( ¯
B, ¯
T ) de ¯
G en une
paire de Borel épinglée. Alors il existe une unique action de Γ F sur ¯
G qui conserve
cette paire de Borel épinglée, de sorte que cette action et l’action σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗
coïncident sur ¯
T = T
∗,θ
∗ ,0 et induisent la même action sur Σ + (μ). On note cette
action σ → σ ¯
G . Pour celle-ci, ¯
G est quasi-déployé. Le centre Z( ¯
G) est indépendant
Chapitre VII. Descente globale
Disons que deux éléments (μ, ω ¯
G ) et (μ
, ω ¯
G ) de Stab( ˜
G(F )) sont équivalents si
et seulement si μ = μ
et ω ¯
G (σ) ∈ W (μ)ω ¯
G (σ) pour tout σ ∈ Γ F . On a
(3) Stab( ˜
G(F )) est un ensemble de représentants des classes d’équivalence dans
Stab( ˜
G(F )).
Preuve. Pour (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )) et σ ∈ Γ F , il existe un unique u(σ) ∈ W (μ) tel
que u(σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ conserve Σ + (μ). Posons ω
¯
G
(σ) = u(σ)ω ¯
G (σ). L’unicité de u(σ)
entraîne facilement que ω
¯
G
est encore un cocycle. Alors (μ, ω
¯
G
) est un élément
de Stab( ˜
G(F )) qui est équivalent à (μ, ω ¯
G ). D’autre part, il est immédiat que
deux éléments de Stab( ˜
G(F )) sont équivalent si et seulement s’ils sont égaux.
D’où (3).
Le groupe W
θ
∗ agit sur Stab( ˜
G(F )) de la façon suivante. Pour (μ, ω ¯
G ) ∈
Stab( ˜
G(F )) et w ∈ W
θ
∗ , l’image de (μ, ω ¯
G ) par w est le couple (μ
, ω ¯
G ) défini
par μ
= w(μ) et ω ¯
G (σ) = wω ¯
G (σ)σ G ∗ (w
−1 ) pour tout σ. Cette action respecte
la relation d’équivalence introduite ci-dessus. Montrons que
(4) soient (μ, ω ¯
G ) et (μ
, ω ¯
G ) deux éléments de Stab( ˜
G(F )) ; alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe w ∈ W
θ
∗ tel que (μ
, ω ¯
G ) = w(μ, ω ¯
G ) ;
(ii) il existe w ∈ W
θ
∗ tel que (μ
, ω ¯
G ) = w(μ, ω ¯
G ) et w(Σ + (μ)) = Σ + (μ
) ;
(iii) il existe w ∈ W
θ
∗ tel que (μ
, ω ¯
G ) et w(μ, ω ¯
G ) soient équivalents dans
Stab( ˜
G(F )).
Preuve. Evidemment, (ii) entraîne (i) et (i) entraîne (iii). Soit w vérifiant (iii). On a
w(μ) = μ
donc w envoie Σ(μ) dans Σ(μ
). Il existe un unique u ∈ W (μ
) tel que uw
envoie Σ + (μ) dans Σ + (μ
). Il est clair que (μ
, ω ¯
G ) et u(μ
, ω ¯
G ) sont équivalents.
Puisque (μ
, ω ¯
G ) et w(μ, ω ¯
G ) sont équivalents et que l’action de W
θ
∗ conserve
l’équivalence, u(μ
, ω ¯
G ) et uw(μ, ω ¯
G ) sont équivalents. Donc aussi (μ
, ω ¯
G ) et
uw(μ, ω ¯
G ). On peut donc remplacer w par uw, la condition (iii) reste vérifiée et
maintenant, w envoie Σ + (μ) dans Σ + (μ
). On voit que cette dernière condition
implique que w(μ, ω ¯
G ) vérifie (2), donc appartient à Stab( ˜
G(F )). Alors (μ
, ω ¯
G )
et w(μ, ω ¯
G ) sont deux éléments équivalents de Stab( ˜
G(F )). Ils sont donc égaux et
la conclusion de (ii) est vérifiée.
Pour deux éléments (μ, ω ¯
G ), (μ
, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )), on dit qu’ils sont conjugués si et seulement s’ils vérifient les trois conditions équivalentes ci-dessus. On
note Stab( ˜
G(F )) l’ensemble des classes de conjugaison. Cet ensemble est en bijection avec celui des classes de conjugaison par W
θ
∗ dans Stab( ˜
G(F )).
Soit (μ, ω ¯
G ) ∈ Stab( ˜
G(F )). Comme plus haut, relevons μ en un élément
η ∈ ˜
G et définissons le groupe ¯
G. Complétons la paire de Borel ( ¯
B, ¯
T ) de ¯
G en une
paire de Borel épinglée. Alors il existe une unique action de Γ F sur ¯
G qui conserve
cette paire de Borel épinglée, de sorte que cette action et l’action σ → ω ¯
G (σ)σ G ∗
coïncident sur ¯
T = T
∗,θ
∗ ,0 et induisent la même action sur Σ + (μ). On note cette
action σ → σ ¯
G . Pour celle-ci, ¯
G est quasi-déployé. Le centre Z( ¯
G) est indépendant