VII.1. Coefficients et classes de conjugaison stable
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VII.1 Coefficients globaux et classes
de conjugaison stable
VII.1.1 Ensemble de paramètres
Pour tout le chapitre, sauf mention expresse du contraire, F est un corps de
nombres, G est un groupe réductif connexe défini sur F , ˜
G est un espace tordu
sous G défini sur F et a est un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)). On
utilise les définitions de [VI] 1.1 et on adjoint au triplet (G, ˜
G, a) diverses données
supplémentaires comme dans cette référence.
Considérons la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) de G. Elle
est munie de l’action galoisienne quasi-déployée, notée σ → σ G ∗ , cf. [I] 1.2. Elle
est aussi munie d’un automorphisme θ
∗ qui commute à l’action galoisienne. On
note Σ(T
∗ ) l’ensemble des racines de T
∗ dans g. Pour α ∈ Σ(T
∗ ), on note α res
sa restriction à T
∗,θ
∗ ,0 et on pose Σ(T
∗ ) res = {α res ; α ∈ Σ(T
∗ )}. On note Σ + (T
∗ )
et Σ res,+ (T
∗ ) les sous-ensembles positifs déterminés par B
∗ . Pour α ∈ Σ(T
∗ ), on
note N α la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ
∗ . Ce caractère de T
∗ se descend en un caractère de
T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ).
Soit μ ∈ (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G) (cf. [I] 1.2 pour la définition de
Z( ˜
G)), fixons ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G) de sorte que μ soit l’image de (ν, ¯
e). On note
Σ(μ) l’ensemble des α res pour α ∈ Σ(T
∗ ) vérifiant l’une des conditions suivantes
– α est de type 1 ou 2 et (N α)(ν) = 1 ;
– α est de type 3 et (N α)(ν) = −1.
Cet ensemble s’interprète de la façon suivante. Identifions E
∗ à une paire de
Borel épinglée particulière de G et relevons ¯
e en un élément e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). Posons
η = νe ∈ ˜
G, ¯
G = G η , ¯
B = ¯
G ∩ B
∗ et ¯
T = T
∗,θ
∗ ,0 . Alors Σ(μ) est l’ensemble
des racines Σ
¯
G ( ¯
T ) de ¯
T dans ¯ g. En particulier, Σ(μ) est un honnête système de
racines et Σ + (μ) = Σ(μ) ∩ Σ res,+ (T
∗ ) est le sous-ensemble positif associé à ¯
B.
On introduit le groupe de Weyl W (μ) de Σ(μ), c’est-à-dire le sous-groupe de W
θ
∗
engendré par les symétries relatives aux α res ∈ Σ(μ). C’est aussi le groupe de Weyl
W
¯
G du groupe ¯
G.
Le groupe W
θ
∗ agit sur (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G) par l’action naturelle
sur le premier facteur et par l’action triviale sur le second. Tous les objets sont
munis de l’action galoisienne quasi-déployée. Pour un cocycle ω ¯
G : Γ F → W
θ
∗ ,
considérons les conditions
(1) ω ¯
G (σ)σ G ∗ fixe μ pour tout σ ∈ Γ F ;
(2) ω ¯
G (σ)σ G ∗ fixe μ et conserve Σ + (μ) pour tout σ ∈ Γ F .
Remarquons que la condition (1) implique en tout cas que ω ¯
G (σ)σ G ∗ conserve
Σ(μ) pour tout σ ∈ Γ F . On note Stab( ˜
G(F )) l’ensemble des couples (μ, ω ¯
G ) tels
que ω ¯
G vérifie (1) et Stab( ˜
G(F )) celui des couples (μ, ω ¯
G ) tels que ω ¯
G vérifie (2).
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VII.1 Coefficients globaux et classes
de conjugaison stable
VII.1.1 Ensemble de paramètres
Pour tout le chapitre, sauf mention expresse du contraire, F est un corps de
nombres, G est un groupe réductif connexe défini sur F , ˜
G est un espace tordu
sous G défini sur F et a est un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)). On
utilise les définitions de [VI] 1.1 et on adjoint au triplet (G, ˜
G, a) diverses données
supplémentaires comme dans cette référence.
Considérons la paire de Borel épinglée E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ ) de G. Elle
est munie de l’action galoisienne quasi-déployée, notée σ → σ G ∗ , cf. [I] 1.2. Elle
est aussi munie d’un automorphisme θ
∗ qui commute à l’action galoisienne. On
note Σ(T
∗ ) l’ensemble des racines de T
∗ dans g. Pour α ∈ Σ(T
∗ ), on note α res
sa restriction à T
∗,θ
∗ ,0 et on pose Σ(T
∗ ) res = {α res ; α ∈ Σ(T
∗ )}. On note Σ + (T
∗ )
et Σ res,+ (T
∗ ) les sous-ensembles positifs déterminés par B
∗ . Pour α ∈ Σ(T
∗ ), on
note N α la somme des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré par θ
∗ . Ce caractère de T
∗ se descend en un caractère de
T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ).
Soit μ ∈ (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G) (cf. [I] 1.2 pour la définition de
Z( ˜
G)), fixons ν ∈ T
∗ et ¯
e ∈ Z( ˜
G) de sorte que μ soit l’image de (ν, ¯
e). On note
Σ(μ) l’ensemble des α res pour α ∈ Σ(T
∗ ) vérifiant l’une des conditions suivantes
– α est de type 1 ou 2 et (N α)(ν) = 1 ;
– α est de type 3 et (N α)(ν) = −1.
Cet ensemble s’interprète de la façon suivante. Identifions E
∗ à une paire de
Borel épinglée particulière de G et relevons ¯
e en un élément e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). Posons
η = νe ∈ ˜
G, ¯
G = G η , ¯
B = ¯
G ∩ B
∗ et ¯
T = T
∗,θ
∗ ,0 . Alors Σ(μ) est l’ensemble
des racines Σ
¯
G ( ¯
T ) de ¯
T dans ¯ g. En particulier, Σ(μ) est un honnête système de
racines et Σ + (μ) = Σ(μ) ∩ Σ res,+ (T
∗ ) est le sous-ensemble positif associé à ¯
B.
On introduit le groupe de Weyl W (μ) de Σ(μ), c’est-à-dire le sous-groupe de W
θ
∗
engendré par les symétries relatives aux α res ∈ Σ(μ). C’est aussi le groupe de Weyl
W
¯
G du groupe ¯
G.
Le groupe W
θ
∗ agit sur (T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ )) × Z(G) Z( ˜
G) par l’action naturelle
sur le premier facteur et par l’action triviale sur le second. Tous les objets sont
munis de l’action galoisienne quasi-déployée. Pour un cocycle ω ¯
G : Γ F → W
θ
∗ ,
considérons les conditions
(1) ω ¯
G (σ)σ G ∗ fixe μ pour tout σ ∈ Γ F ;
(2) ω ¯
G (σ)σ G ∗ fixe μ et conserve Σ + (μ) pour tout σ ∈ Γ F .
Remarquons que la condition (1) implique en tout cas que ω ¯
G (σ)σ G ∗ conserve
Σ(μ) pour tout σ ∈ Γ F . On note Stab( ˜
G(F )) l’ensemble des couples (μ, ω ¯
G ) tels
que ω ¯
G vérifie (1) et Stab( ˜
G(F )) celui des couples (μ, ω ¯
G ) tels que ω ¯
G vérifie (2).