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Chapitre VII. Descente globale
On énonce dans la section 3 de nouveaux théorèmes qui sont pour l’essentiel
des reformulations des théorèmes ci-dessus. Mais les données sont cette fois un
élément X de Stab( ˜
G(F )) et un ensemble fini de places V . Ces données sont
indépendantes l’une de l’autre. Pour X fixé, on peut faire varier V . On prouve
dans la section 2 des formules de scindage qui entraînent que, si les théorèmes sont
vérifiés pour V grand (cette notion dépendant de X ), alors ils le sont pour tout
V . Les résultats de cette section 2 s’appuient sur le lemme fondamental pondéré
tordu dû à Chaudouard et Laumon (cf. [31] ; fâcheusement, ces auteurs n’ont pas
encore publié la preuve complète annoncée dans cette référence). Ils s’appuient
aussi sur une version tordue d’un argument d’annulation dû à Kottwitz.
Les sections 4 à 8 sont consacrées à la preuve des théorèmes de la section 3
pour un paramètre X et un ensemble de places V assez grand. Cette hypothèse
sur V entraîne que toutes les distributions intervenant se calculent par la méthode
de descente d’Harish-Chandra. Cela nous ramène à deux problèmes. D’abord, la
méthode de descente appliquée globalement, c’est-à-dire sur F , fait intervenir une
combinatoire compliquée contrôlée par divers groupes de cohomologie. Dans notre
situation tordue, il s’agit de cohomologie de complexes de tores. Fort heureusement, cette combinatoire a été entièrement élucidée par Labesse dans une série
d’articles (cf. [52], [51], [53]). On est alors ramené à des problèmes similaires aux
problèmes initiaux, mais dans une situation non tordue et pour des distributions
à support unipotent. Puisque la situation n’est plus tordue, on peut utiliser les
résultats d’Arthur ([18]). Cela ne suffit toutefois pas car la descente d’HarishChandra appliquée au cas tordu fait inévitablement intervenir un phénomène qui
ne se produit pas dans le cas non tordu : il apparaît des triplets endoscopiques
non standard. Pour ceux-ci, on utilise le théorème [VI] 5.6 qui permet d’achever
la preuve. Bien sûr, ce dernier théorème n’est pas encore prouvé. Toutefois, les
hypothèses de récurrence sophistiquées que l’on a posées en [VI] 5.8 permettent de
l’appliquer, sauf dans quelques cas particuliers. Cette restriction est précisément
la raison pour laquelle la démonstration du théorème [VI] 5.4 restera incomplète.
Dans la section 9, nous prouverons le théorème [VI] 5.6. La preuve est la
même que ci-dessus, mais inversée. Ci-dessus, on déduit le théorème [VI] 5.4 du
théorème [VI] 5.6. Maintenant, on déduit le théorème [VI] 5.6 du théorème [VI]
5.4. Les hypothèses de récurrence assurent cette fois que ce théorème est valide
pour les triplets (G, ˜
G, a) que nous utiliserons. Il faut toutefois prendre garde
que, toutes ces démonstrations se faisant par récurrence, elles ne deviendront de
vraies démonstrations que quand tous les pas de la récurrence auront été traités.
Comme on l’expliquera davantage en 3.7, il suffira pour cela d’achever la preuve
du théorème [VI] 5.4.
Comme on le voit, notre preuve suit de très près celle d’Arthur dans son
deuxième article sur la stabilisation ([19]). Il s’agissait seulement d’y insérer les
idées de Labesse afin de l’adapter à la situation tordue.
Chapitre VII. Descente globale
On énonce dans la section 3 de nouveaux théorèmes qui sont pour l’essentiel
des reformulations des théorèmes ci-dessus. Mais les données sont cette fois un
élément X de Stab( ˜
G(F )) et un ensemble fini de places V . Ces données sont
indépendantes l’une de l’autre. Pour X fixé, on peut faire varier V . On prouve
dans la section 2 des formules de scindage qui entraînent que, si les théorèmes sont
vérifiés pour V grand (cette notion dépendant de X ), alors ils le sont pour tout
V . Les résultats de cette section 2 s’appuient sur le lemme fondamental pondéré
tordu dû à Chaudouard et Laumon (cf. [31] ; fâcheusement, ces auteurs n’ont pas
encore publié la preuve complète annoncée dans cette référence). Ils s’appuient
aussi sur une version tordue d’un argument d’annulation dû à Kottwitz.
Les sections 4 à 8 sont consacrées à la preuve des théorèmes de la section 3
pour un paramètre X et un ensemble de places V assez grand. Cette hypothèse
sur V entraîne que toutes les distributions intervenant se calculent par la méthode
de descente d’Harish-Chandra. Cela nous ramène à deux problèmes. D’abord, la
méthode de descente appliquée globalement, c’est-à-dire sur F , fait intervenir une
combinatoire compliquée contrôlée par divers groupes de cohomologie. Dans notre
situation tordue, il s’agit de cohomologie de complexes de tores. Fort heureusement, cette combinatoire a été entièrement élucidée par Labesse dans une série
d’articles (cf. [52], [51], [53]). On est alors ramené à des problèmes similaires aux
problèmes initiaux, mais dans une situation non tordue et pour des distributions
à support unipotent. Puisque la situation n’est plus tordue, on peut utiliser les
résultats d’Arthur ([18]). Cela ne suffit toutefois pas car la descente d’HarishChandra appliquée au cas tordu fait inévitablement intervenir un phénomène qui
ne se produit pas dans le cas non tordu : il apparaît des triplets endoscopiques
non standard. Pour ceux-ci, on utilise le théorème [VI] 5.6 qui permet d’achever
la preuve. Bien sûr, ce dernier théorème n’est pas encore prouvé. Toutefois, les
hypothèses de récurrence sophistiquées que l’on a posées en [VI] 5.8 permettent de
l’appliquer, sauf dans quelques cas particuliers. Cette restriction est précisément
la raison pour laquelle la démonstration du théorème [VI] 5.4 restera incomplète.
Dans la section 9, nous prouverons le théorème [VI] 5.6. La preuve est la
même que ci-dessus, mais inversée. Ci-dessus, on déduit le théorème [VI] 5.4 du
théorème [VI] 5.6. Maintenant, on déduit le théorème [VI] 5.6 du théorème [VI]
5.4. Les hypothèses de récurrence assurent cette fois que ce théorème est valide
pour les triplets (G, ˜
G, a) que nous utiliserons. Il faut toutefois prendre garde
que, toutes ces démonstrations se faisant par récurrence, elles ne deviendront de
vraies démonstrations que quand tous les pas de la récurrence auront été traités.
Comme on l’expliquera davantage en 3.7, il suffira pour cela d’achever la preuve
du théorème [VI] 5.4.
Comme on le voit, notre preuve suit de très près celle d’Arthur dans son
deuxième article sur la stabilisation ([19]). Il s’agissait seulement d’y insérer les
idées de Labesse afin de l’adapter à la situation tordue.