Chapitre VII
Descente globale
Introduction
Nous commençons la preuve des théorèmes [VI] 5.2 et [VI] 5.4. Rappelons-en les
énoncés, en renvoyant à [VI] pour les définitions. Le triplet (G, ˜
G, a) est défini sur
un corps de nombres F . On fixe un ensemble fini V de places de F contenant
l’ensemble V ram des «mauvaises» places.
Théorème [VI] 5.2 (à prouver). On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion
intérieure. Soit O V une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(F V ).
Alors SA
˜
G (V, O V ) est stable.
Théorème [VI] 5.4 (à prouver). Soit O V une classe de conjugaison stable semisimple dans ˜
G(F V ). Alors on a l’égalité A
˜
G,E (V, O V , ω) = A
˜
G (V, O V , ω).
Dans ce chapitre, nous prouverons le premier théorème. Nous prouverons
aussi le second sauf pour certains triplets (G, ˜
G, a) particuliers. Pour ceux-ci, nous
le prouverons sauf pour un nombre fini de classes O V exceptionnelles. On renvoie
à 3.5 pour des assertions précises. Les cas restants de ce théorème seront prouvés
en [X] en utilisant la formule des traces.
On introduit en 1.1 un ensemble de paramètres Stab( ˜
G(F )). On définit en
1.2 une application qui, à une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(F ),
associe un élément de notre ensemble de paramètres. Cette application est toujours
injective. En général, elle n’est pas surjective. Elle l’est toutefois si (G, ˜
G, a) est
quasi-déployé et à torsion intérieure. La question de savoir si un paramètre provient
bel et bien d’une classe de conjugaison stable semi-simple est délicate et nous ne
la résoudrons pas. L’intérêt d’introduire cet ensemble de paramètres est justement
de la contourner. Si G
= (G
, G
, ˜
s) est une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a),
la correspondance entre classes de conjugaison stable semi-simples dans ˜
G
(F )
et ˜
G(F ) est compliquée précisément parce qu’il y a des classes dans ˜
G
(F ) qui
ne correspondent à rien dans ˜
G(F ). Mais cette correspondance se traduit par une
véritable application Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F )) entre ensembles de paramètres.
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_2
747
© Springer International Publishing Switzerland 2016
Descente globale
Introduction
Nous commençons la preuve des théorèmes [VI] 5.2 et [VI] 5.4. Rappelons-en les
énoncés, en renvoyant à [VI] pour les définitions. Le triplet (G, ˜
G, a) est défini sur
un corps de nombres F . On fixe un ensemble fini V de places de F contenant
l’ensemble V ram des «mauvaises» places.
Théorème [VI] 5.2 (à prouver). On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion
intérieure. Soit O V une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(F V ).
Alors SA
˜
G (V, O V ) est stable.
Théorème [VI] 5.4 (à prouver). Soit O V une classe de conjugaison stable semisimple dans ˜
G(F V ). Alors on a l’égalité A
˜
G,E (V, O V , ω) = A
˜
G (V, O V , ω).
Dans ce chapitre, nous prouverons le premier théorème. Nous prouverons
aussi le second sauf pour certains triplets (G, ˜
G, a) particuliers. Pour ceux-ci, nous
le prouverons sauf pour un nombre fini de classes O V exceptionnelles. On renvoie
à 3.5 pour des assertions précises. Les cas restants de ce théorème seront prouvés
en [X] en utilisant la formule des traces.
On introduit en 1.1 un ensemble de paramètres Stab( ˜
G(F )). On définit en
1.2 une application qui, à une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(F ),
associe un élément de notre ensemble de paramètres. Cette application est toujours
injective. En général, elle n’est pas surjective. Elle l’est toutefois si (G, ˜
G, a) est
quasi-déployé et à torsion intérieure. La question de savoir si un paramètre provient
bel et bien d’une classe de conjugaison stable semi-simple est délicate et nous ne
la résoudrons pas. L’intérêt d’introduire cet ensemble de paramètres est justement
de la contourner. Si G
= (G
, G
, ˜
s) est une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a),
la correspondance entre classes de conjugaison stable semi-simples dans ˜
G
(F )
et ˜
G(F ) est compliquée précisément parce qu’il y a des classes dans ˜
G
(F ) qui
ne correspondent à rien dans ˜
G(F ). Mais cette correspondance se traduit par une
véritable application Stab( ˜
G
(F )) → Stab( ˜
G(F )) entre ensembles de paramètres.
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_2
747
© Springer International Publishing Switzerland 2016