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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
que l’on n’impose pas que la donnée soit relevante, contrairement à nos ensembles
habituels E( ˜
M , a M , V ). Avec la définition de 6.6, on obtient
X =
ˆ
M
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
M ∈E∗( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M, ˜
M
)
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj
I
K ˜
G,E
∗
(M
, SA
M
(O
, V ), f ).
La proposition 6.6 nous dit que, pour que le terme que l’on somme soit non nul, il
faut que ˆ
M corresponde à un K-espace de Levi K ˜
M de ˜
G et que M
soit relevant
pour (KM, K ˜
M, a M ). Cela permet de récrire
X =
K ˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
M ∈E( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M, ˜
M
)
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, SA
M
(O
, V ), f ).
Les hypothèses de la proposition 4.6 sont vérifiées. Cela nous permet de remplacer les termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, SA
M
(O
, V ), f ) par I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert(SA
M
(O
, V )), f ).
On peut maintenant se limiter aux classes de conjugaison stable O
qui correspondent à une telle classe dans le K-espace de Levi correspondant K ˜
M (F V ) :
pour les autres, transfert(SA
M
(O
, V )) = 0. On peut regrouper ces classes selon
la classe qui leur correspond dans K ˜
M (F V ). On obtient
X =
K ˜
M∈L(K ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈K ˜
Mss(FV )/ st-conj
M ∈E( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M, ˜
M
)
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj;O →O
I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert(SA
M
(O
, V )), f ),
où O
→ O désigne la correspondance entre classes de conjugaison stable. Pour
tous K ˜
M et O intervenant ci-dessus, on a l’égalité
M ∈E( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M, ˜
M
)
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj;O →O
transfert(SA
M
(O
, V ))
= A
K ˜
M,E (O, V, a)
d’après la définition de 5.4. C’est encore égal à A
K ˜
M (O, V, ω) d’après le théorème
5.4. Les hypothèses de la proposition 4.6 sont vérifiées et on obtient
X =
K ˜
M ∈L(K ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈ ˜
Mss(FV )/ st-conj
I
K ˜
G
K ˜
M
(A
K ˜
M (O, V, ω), f ).
Ceci n’est autre que I
K ˜
G
g´ eom (f , ω), cf. 2.9. Cela prouve le théorème 5.10.