VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
745
Ecrivons δ = (δ v ) v∈V et supposons que, pour tout v ∈ V , δ v soit induite à
partir d’un espace de Levi ˜
R
v de ˜
M
v . Supposons qu’il existe v tel que ˜
R
v ne
corresponde à aucun K-espace de Levi de K ˜
G v ou qu’il existe un tel K-espace
de Levi mais que ˜
R
v ne soit pas relevant. Alors I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f ) = 0.
VI.6.11 Le théorème 5.10
Dans ce paragraphe, on suppose démontrés les théorèmes [II] 1.16, [V] 1.10 et 5.2
et 5.4 ci-dessus. On va alors prouver le théorème 5.10. Notons
X =
𨐽
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)S
G
g´ eom (f
G
)
le membre de droite de l’égalité de ce théorème. Développons X en appliquant les
définitions. On obtient
X =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)
˜
M ∈L( ˜
M
0 )
|W
M
||W
G
|
−1
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj
S
G
M (SA
M
(O
, V ), f
G
).
Le terme M
est le triplet (M
, M
, ˜
ζ) associé naturellement aux données G
et à
l’espace de Levi ˜
M
∈ L( ˜
M
0 ). Notons que ˜
M
(F ) = ∅ pour tous les ˜
M
intervenant. Le lemme 5.3 nous autorise à remplacer les termes S
G
M (SA
M
(O
, V ), f
G
)
par leurs variantes S
G
M (SA
M
(O
, V ), B
˜
G , f
G
). Il n’est pas difficile d’adapter la
proposition 6.5 à nos présentes notations. Elle entraîne que l’on peut récrire cette
somme sous la forme
X =
ˆ
M
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
M ∈E∗( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M, ˜
M
)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj
S
G
(˜ s)
M (SA
M
(O
, B, V ), B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Ici, ˆ
M parcourt les Levi de ˆ
G contenant ˆ
M 0 qui sont des composantes de Levi de
sous-groupes paraboliques invariants par ˆ
θ et par Γ F . Un tel Levi ne correspond pas
toujours à un K-espace de Levi K ˜
M de K ˜
G mais on peut lui associer divers objets
que, par anticipation, nous notons comme si un tel K-espace existait. Par exemple
W
˜
M est le sous-groupe des éléments invariants par ˆ
θ et Γ F dans Norm ˆ
G ( ˆ
M )/ ˆ
M . Si
K ˜
M existe, l’ensemble E ∗ ( ˜
M , a M , V ) est celui des classes d’équivalence de données
endoscopiques elliptiques (M
, M
, ˜
ζ) de (KM, K ˜
M, a M ) qui sont non ramifiées
hors de V et telles que ˜
M
(F ) = ∅. La définition de ces notions ne faisant intervenir
que le groupe ˆ
M , la définition s’étend au cas où K ˜
M n’existe pas. L’indice ∗ signifie
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Ecrivons δ = (δ v ) v∈V et supposons que, pour tout v ∈ V , δ v soit induite à
partir d’un espace de Levi ˜
R
v de ˜
M
v . Supposons qu’il existe v tel que ˜
R
v ne
corresponde à aucun K-espace de Levi de K ˜
G v ou qu’il existe un tel K-espace
de Levi mais que ˜
R
v ne soit pas relevant. Alors I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f ) = 0.
VI.6.11 Le théorème 5.10
Dans ce paragraphe, on suppose démontrés les théorèmes [II] 1.16, [V] 1.10 et 5.2
et 5.4 ci-dessus. On va alors prouver le théorème 5.10. Notons
X =
𨐽
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)S
G
g´ eom (f
G
)
le membre de droite de l’égalité de ce théorème. Développons X en appliquant les
définitions. On obtient
X =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)
˜
M ∈L( ˜
M
0 )
|W
M
||W
G
|
−1
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj
S
G
M (SA
M
(O
, V ), f
G
).
Le terme M
est le triplet (M
, M
, ˜
ζ) associé naturellement aux données G
et à
l’espace de Levi ˜
M
∈ L( ˜
M
0 ). Notons que ˜
M
(F ) = ∅ pour tous les ˜
M
intervenant. Le lemme 5.3 nous autorise à remplacer les termes S
G
M (SA
M
(O
, V ), f
G
)
par leurs variantes S
G
M (SA
M
(O
, V ), B
˜
G , f
G
). Il n’est pas difficile d’adapter la
proposition 6.5 à nos présentes notations. Elle entraîne que l’on peut récrire cette
somme sous la forme
X =
ˆ
M
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
M ∈E∗( ˜
M,aM ,V )
i( ˜
M, ˜
M
)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
O ∈ ˜
M
ss (FV )/ st-conj
S
G
(˜ s)
M (SA
M
(O
, B, V ), B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Ici, ˆ
M parcourt les Levi de ˆ
G contenant ˆ
M 0 qui sont des composantes de Levi de
sous-groupes paraboliques invariants par ˆ
θ et par Γ F . Un tel Levi ne correspond pas
toujours à un K-espace de Levi K ˜
M de K ˜
G mais on peut lui associer divers objets
que, par anticipation, nous notons comme si un tel K-espace existait. Par exemple
W
˜
M est le sous-groupe des éléments invariants par ˆ
θ et Γ F dans Norm ˆ
G ( ˆ
M )/ ˆ
M . Si
K ˜
M existe, l’ensemble E ∗ ( ˜
M , a M , V ) est celui des classes d’équivalence de données
endoscopiques elliptiques (M
, M
, ˜
ζ) de (KM, K ˜
M, a M ) qui sont non ramifiées
hors de V et telles que ˜
M
(F ) = ∅. La définition de ces notions ne faisant intervenir
que le groupe ˆ
M , la définition s’étend au cas où K ˜
M n’existe pas. L’indice ∗ signifie