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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où J est le sous-groupe de
(29)
v∈V
Z( ˆ
R v ) ∗ /(Z( ˆ
R v ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
R v )
ΓF v
formé des images naturelles des familles (ρ v ) v∈V que l’on peut associer comme
ci-dessus à un élément z ∈ Z. On se rappelle la propriété (2) : pour tout v ∈ V ,
l’élément v appartient à un sous-tore tordu elliptique de ˜
R
v . Il y a donc pour tout
v ∈ V des éléments elliptiques réguliers dans ˜
R
v (F v ) qui sont aussi voisins qu’on
le veut de v . Mais, puisque M
n’est pas relevante, il y a a fortiori au moins une
place v ∈ V où ˜
R
v n’est pas relevant. La proposition [I] 1.14 implique alors que,
pour cette place v, on a N
˜
R
v , ˜
Rv ( v ) ∈ N
˜
Rv (K ˜
R v,ab (F v )). Pour prouver (16), il
suffit de prouver que le membre de droite de (28) est nul pour r
assez voisin de .
D’après la propriété que l’on vient de voir de cet élément, il suffit que J soit égal
au groupe (29) tout entier. Soit donc (ρ v ) v∈V ∈
v∈V Z( ˆ
R v ) ∗ . Pour tout v ∈ V ,
on a
(1 − ˆ
θ)(ρ v ) ∈ Z( ˆ
R v )
ΓF v = Z( ˆ
G)
ΓF v Z( ˆ
R v )
ΓF v ,0
= Z( ˆ
G)
ΓF v Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ,0 (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v )
ΓF v ,0 ).
Quitte à multiplier ρ v par un élément de Z( ˆ
R v )
ΓF v ,0 , ce qui ne change pas l’image
dans (29) de la famille (ρ v ) v∈V , on peut supposer (1 − ˆ
θ)(ρ v ) = ξ v x v , avec ξ v ∈
Z( ˆ
G)
ΓF v et x v ∈ Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ,0 . On a un homomorphisme
Z( ˆ
R V )
0
×
v∈V
Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ,0
→
v∈V
Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ,0
similaire à (27), qui est surjectif car ˆ
D l’est. On peut donc trouver z ∈ Z( ˆ
R V )
0
et, pour tout v ∈ V , un élément τ
v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ,0 , de sorte que zτ
v = x v . Posons
τ v = (ξ v τ
v )
−1 . C’est un élément de Z( ˆ
L v )
ΓF v et on a z = τ v (1 − ˆ
θ)(ρ v ). On voit
alors que z appartient à Z et que (ρ v ) v∈V est une famille associée à z comme plus
haut. Cela achève cette brève démonstration.
Remarques.
(30) Les complications du début de la preuve, à savoir le passage par les propositions auxiliaires 6.7 et 6.8, sont dues aux places archimédiennes. Cela
parce que, sur un corps de base F v archimédien, on n’a pas défini les intégrales orbitales pondérées stables S
˜
G
˜
M
(δ, f ) pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F v )) ⊗
Mes(M (F v ))
∗ . Cela nous oblige à des contorsions pour assurer que les distributions d v de la démonstration ci-dessus sont dans le domaine de définition
de ces intégrales orbitales pondérées stables. Si on remplace ces intégrales par
leurs avatars spectraux, cette difficulté disparaît et une même démonstration
s’applique tout en se simplifiant.
(31) Si on oublie cette difficulté aux places archimédiennes, on voit que l’on démontre en fait un résultat plus fin que la proposition 6.6, qui est le suivant.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où J est le sous-groupe de
(29)
v∈V
Z( ˆ
R v ) ∗ /(Z( ˆ
R v ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
R v )
ΓF v
formé des images naturelles des familles (ρ v ) v∈V que l’on peut associer comme
ci-dessus à un élément z ∈ Z. On se rappelle la propriété (2) : pour tout v ∈ V ,
l’élément v appartient à un sous-tore tordu elliptique de ˜
R
v . Il y a donc pour tout
v ∈ V des éléments elliptiques réguliers dans ˜
R
v (F v ) qui sont aussi voisins qu’on
le veut de v . Mais, puisque M
n’est pas relevante, il y a a fortiori au moins une
place v ∈ V où ˜
R
v n’est pas relevant. La proposition [I] 1.14 implique alors que,
pour cette place v, on a N
˜
R
v , ˜
Rv ( v ) ∈ N
˜
Rv (K ˜
R v,ab (F v )). Pour prouver (16), il
suffit de prouver que le membre de droite de (28) est nul pour r
assez voisin de .
D’après la propriété que l’on vient de voir de cet élément, il suffit que J soit égal
au groupe (29) tout entier. Soit donc (ρ v ) v∈V ∈
v∈V Z( ˆ
R v ) ∗ . Pour tout v ∈ V ,
on a
(1 − ˆ
θ)(ρ v ) ∈ Z( ˆ
R v )
ΓF v = Z( ˆ
G)
ΓF v Z( ˆ
R v )
ΓF v ,0
= Z( ˆ
G)
ΓF v Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ,0 (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v )
ΓF v ,0 ).
Quitte à multiplier ρ v par un élément de Z( ˆ
R v )
ΓF v ,0 , ce qui ne change pas l’image
dans (29) de la famille (ρ v ) v∈V , on peut supposer (1 − ˆ
θ)(ρ v ) = ξ v x v , avec ξ v ∈
Z( ˆ
G)
ΓF v et x v ∈ Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ,0 . On a un homomorphisme
Z( ˆ
R V )
0
×
v∈V
Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ,0
→
v∈V
Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ,0
similaire à (27), qui est surjectif car ˆ
D l’est. On peut donc trouver z ∈ Z( ˆ
R V )
0
et, pour tout v ∈ V , un élément τ
v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ,0 , de sorte que zτ
v = x v . Posons
τ v = (ξ v τ
v )
−1 . C’est un élément de Z( ˆ
L v )
ΓF v et on a z = τ v (1 − ˆ
θ)(ρ v ). On voit
alors que z appartient à Z et que (ρ v ) v∈V est une famille associée à z comme plus
haut. Cela achève cette brève démonstration.
Remarques.
(30) Les complications du début de la preuve, à savoir le passage par les propositions auxiliaires 6.7 et 6.8, sont dues aux places archimédiennes. Cela
parce que, sur un corps de base F v archimédien, on n’a pas défini les intégrales orbitales pondérées stables S
˜
G
˜
M
(δ, f ) pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F v )) ⊗
Mes(M (F v ))
∗ . Cela nous oblige à des contorsions pour assurer que les distributions d v de la démonstration ci-dessus sont dans le domaine de définition
de ces intégrales orbitales pondérées stables. Si on remplace ces intégrales par
leurs avatars spectraux, cette difficulté disparaît et une même démonstration
s’applique tout en se simplifiant.
(31) Si on oublie cette difficulté aux places archimédiennes, on voit que l’on démontre en fait un résultat plus fin que la proposition 6.6, qui est le suivant.