VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
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[I] 1.12, on a des homomorphismes
KR v,ab (F v )
N
Rv
R v,0,ab (F v )
N
R
v ,Rv
R
v,ab (F v )
et des applications compatibles
K ˜
R v,ab (F v )
N
˜
Rv
˜
R v,0,ab (F v ) .
N
˜
R
v , ˜
Rv
˜
R
v,ab (F v )
Tout élément ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ définit un caractère χ ρv de
R v,0,ab (F v )/N
Rv (KR v,ab (F v )) :
c’est le caractère associé au cocycle w → w G (ρ v )ρ
−1
v de W Fv dans Z( ˆ
R v,0 ). L’application ρ v → χ ρv se quotiente en une surjection
Z( ˆ
R v ) ∗ /(Z( ˆ
R v ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
R v )
ΓF v → (R v,0,ab (F v )/N
Rv (KR v,ab (F v )))
∨ ,
l’exposant
∨ désignant le groupe des caractères. On note ˜
χ ρv la fonction sur
˜
R v,0,ab (F v ) qui se transforme selon le caractère χ ρv et qui vaut 1 sur l’image
de N
˜
Rv .
On choisit pour Z le groupe
Z( ˆ
R V ) ∩
v∈V
Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v ) ∗ )
/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
tout entier. Comme précédemment, pour z ∈ Z et v ∈ V , on écrit z = τ v (1− ˆ
θ)(ρ v ),
avec τ v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v et ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ . A partir de (24), le calcul de [II] conduit cette
fois au résultat suivant : on a l’égalité
˜
λ z (r
1 ) =
v∈V
˜
χ ρv (N
˜
R
v , ˜
Rv (r
v )),
où on a écrit r
= (r
v ) v∈V l’image de r
1 dans
v∈V
˜
R
v (F v ). Ici encore, le résultat
montre que le membre de droite ne dépend que de z et pas des choix des ρ v . On
peut donc écrire
(28)
z∈Z
˜
λ z (r
1 ) =
(ρv )v∈V ∈J
v∈V
˜
χ ρv (N
˜
R
v , ˜
Rv (r
v )),