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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
choix n’affectent la famille (x v ) v∈V qu’en la multipliant par un élément du noyau
de χ G . On a donc une application
Z →
v∈V
Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
/ Ker(χ G ),
qui est clairement un homomorphisme. Pour obtenir (17), il suffit de prouver que
cet homomorphisme est non trivial. L’hypothèse (25) et le lemme [I] 3.5 (qui
reprend le lemme 2.1 de [16]) entraînent que le sous-groupe
v∈V
(Z( ˆ
G SC )
ΓF v ∩ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 )/Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
⊂
v∈V
Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
n’est pas contenu dans Ker(χ G ).
Il suffit de prouver que tout élément de ce sous-groupe peut être choisi comme
famille (x v ) v∈V associée à un élément de Z. Soit donc pour tout v ∈ V un élément
x v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF v ∩ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 . Grâce à l’égalité
Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 = Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 ,
on peut écrire x v = y v (1 − ˆ
θ)(ρ v,sc )
−1 , avec y v ∈ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 et ρ v,sc ∈
Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 .
Notons Z( ˆ
R V ) sc l’image réciproque de Z( ˆ
R V ) dans ˆ
G SC et Z( ˆ
R V )
0
sc sa
composante neutre. Puisque Z( ˆ
R V ) ⊂ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , on a Z( ˆ
R V )
0
sc ⊂ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 .
On définit un homomorphisme
(27)
Z( ˆ
R V )
0
sc ×
v∈V
Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0
→
v∈V
Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 .
Sur Z( ˆ
R V )
0
sc , c’est le plongement diagonal. Sur chaque Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 , c’est le
plongement naturel Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 . La surjectivité de ˆ
D entraîne que l’homomorphisme ainsi défini est surjectif. On peut donc choisir z sc ∈
Z( ˆ
R V )
0
sc ⊂ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 et, pour tout v ∈ V , un élément τ
v,sc ∈ Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0
de sorte que y v = z sc (τ
v,sc )
−1 . Pour tout v ∈ V , on pose τ v,sc = x v τ
v,sc . On a
alors z sc = τ v,sc (1 − ˆ
θ)(ρ v,sc ). On voit que l’élément z = π(z sc ) appartient à Z et
que, pour cet élément, on peut choisir la famille (x v ) v∈V comme famille associée.
Cela achève la preuve sous l’hypothèse (25).
Supposons maintenant que pour tout v ∈ V , le Levi ˆ
R v est associé à un Kespace de Levi de ˜
G (sur F v ). On fixe un tel espace K ˜
R v . On introduit le groupe
R v,0 quasi-déployé sur F v et dual de ˆ
R
ˆ
θ,0
v . Il lui est associé un espace ˜
R v,0 . D’après
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
choix n’affectent la famille (x v ) v∈V qu’en la multipliant par un élément du noyau
de χ G . On a donc une application
Z →
v∈V
Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
/ Ker(χ G ),
qui est clairement un homomorphisme. Pour obtenir (17), il suffit de prouver que
cet homomorphisme est non trivial. L’hypothèse (25) et le lemme [I] 3.5 (qui
reprend le lemme 2.1 de [16]) entraînent que le sous-groupe
v∈V
(Z( ˆ
G SC )
ΓF v ∩ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 )/Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
⊂
v∈V
Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
n’est pas contenu dans Ker(χ G ).
Il suffit de prouver que tout élément de ce sous-groupe peut être choisi comme
famille (x v ) v∈V associée à un élément de Z. Soit donc pour tout v ∈ V un élément
x v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF v ∩ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 . Grâce à l’égalité
Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 = Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 ,
on peut écrire x v = y v (1 − ˆ
θ)(ρ v,sc )
−1 , avec y v ∈ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 et ρ v,sc ∈
Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v ,0 .
Notons Z( ˆ
R V ) sc l’image réciproque de Z( ˆ
R V ) dans ˆ
G SC et Z( ˆ
R V )
0
sc sa
composante neutre. Puisque Z( ˆ
R V ) ⊂ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , on a Z( ˆ
R V )
0
sc ⊂ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 .
On définit un homomorphisme
(27)
Z( ˆ
R V )
0
sc ×
v∈V
Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0
→
v∈V
Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 .
Sur Z( ˆ
R V )
0
sc , c’est le plongement diagonal. Sur chaque Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 , c’est le
plongement naturel Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ
R v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0 . La surjectivité de ˆ
D entraîne que l’homomorphisme ainsi défini est surjectif. On peut donc choisir z sc ∈
Z( ˆ
R V )
0
sc ⊂ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 et, pour tout v ∈ V , un élément τ
v,sc ∈ Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v , ˆ
θ,0
de sorte que y v = z sc (τ
v,sc )
−1 . Pour tout v ∈ V , on pose τ v,sc = x v τ
v,sc . On a
alors z sc = τ v,sc (1 − ˆ
θ)(ρ v,sc ). On voit que l’élément z = π(z sc ) appartient à Z et
que, pour cet élément, on peut choisir la famille (x v ) v∈V comme famille associée.
Cela achève la preuve sous l’hypothèse (25).
Supposons maintenant que pour tout v ∈ V , le Levi ˆ
R v est associé à un Kespace de Levi de ˜
G (sur F v ). On fixe un tel espace K ˜
R v . On introduit le groupe
R v,0 quasi-déployé sur F v et dual de ˆ
R
ˆ
θ,0
v . Il lui est associé un espace ˜
R v,0 . D’après