VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
741
Revenons maintenant à la formule (18), en se rappelant que l’on a déjà éliminé les
facteurs Δ II de cette formule. On obtient
(24)
˜
λ z (r
1 ) = λ
M (b 1 , b 2 )
−1 λ
L (a 1 , a 2 )
v∈V
A v ,
où on a rétabli l’indice z pour plus de précision.
Il faut revenir au calcul du terme A v . Il s’avère que c’est exactement le même
que celui qui intervenait dans la preuve de la proposition 1.14(iii) de [II]. On peut
utiliser les calculs de cette preuve. On décompose le problème en deux. Supposons
d’abord que
(25) il existe une place v ∈ V telle que ˆ
R v ne corresponde à aucun K-espace de
Levi de K ˜
G.
Dans ce cas, on choisit pour Z le groupe
(26)
Z( ˆ
R V ) ∩
v∈V
Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ) ◦ π(Z( ˆ
R sc )
ΓF v )
/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
(on note comme toujours π : ˆ
G SC → ˆ
G l’homomorphisme naturel). Dans les
constructions précédentes, on peut supposer que, pour v ∈ V , ρ v est l’image
d’un élément ρ v,sc ∈ Z( ˆ
R sc )
ΓF v . On rappelle que l’on a choisi un relèvement
z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . On pose τ v,sc = z sc (1 − ˆ
θ)(ρ v,sc )
−1 . On voit qu’il s’agit d’un
élément de Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v . L’homomorphisme
Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
→ Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v /Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v ,0
est surjectif. Fixons x v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0 qui s’envoie sur l’image de
τ v,sc dans le groupe de droite. Rappelons qu’au groupe G est associé un élément
de H
1 (F ; G AD ) : la classe du cocycle σ → u E (σ) ad pour une paire de Borel épinglée
E quelconque. On la note u G . Pour tout v ∈ V , le groupe H
1 (F ; G AD ) s’envoie
dans son analogue H
1 (F v ; G AD ). On note u G,v l’image de u G . Pour tout v ∈ V ,
on a un produit naturel sur
H
1 (F v ; G AD ) × Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0 .
A partir de l’égalité (24), les calculs de [II] prouvent que, pour z dans le groupe
Z défini par (26), la fonction ˜
λ z est constante, de valeur
v∈V
u G,v , x v .
La famille (u G,v ) v∈V définit un caractère de
v∈V Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0 ,
notons-le χ G . La formule ci-dessus est l’évaluation de ce caractère χ G au point
(x v ) v∈V . On a effectué divers choix pour définir les x v . La formule montre que ces
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Revenons maintenant à la formule (18), en se rappelant que l’on a déjà éliminé les
facteurs Δ II de cette formule. On obtient
(24)
˜
λ z (r
1 ) = λ
M (b 1 , b 2 )
−1 λ
L (a 1 , a 2 )
v∈V
A v ,
où on a rétabli l’indice z pour plus de précision.
Il faut revenir au calcul du terme A v . Il s’avère que c’est exactement le même
que celui qui intervenait dans la preuve de la proposition 1.14(iii) de [II]. On peut
utiliser les calculs de cette preuve. On décompose le problème en deux. Supposons
d’abord que
(25) il existe une place v ∈ V telle que ˆ
R v ne corresponde à aucun K-espace de
Levi de K ˜
G.
Dans ce cas, on choisit pour Z le groupe
(26)
Z( ˆ
R V ) ∩
v∈V
Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ) ◦ π(Z( ˆ
R sc )
ΓF v )
/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
(on note comme toujours π : ˆ
G SC → ˆ
G l’homomorphisme naturel). Dans les
constructions précédentes, on peut supposer que, pour v ∈ V , ρ v est l’image
d’un élément ρ v,sc ∈ Z( ˆ
R sc )
ΓF v . On rappelle que l’on a choisi un relèvement
z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . On pose τ v,sc = z sc (1 − ˆ
θ)(ρ v,sc )
−1 . On voit qu’il s’agit d’un
élément de Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v . L’homomorphisme
Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0
→ Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v /Z( ˆ
L v,sc )
ΓF v ,0
est surjectif. Fixons x v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0 qui s’envoie sur l’image de
τ v,sc dans le groupe de droite. Rappelons qu’au groupe G est associé un élément
de H
1 (F ; G AD ) : la classe du cocycle σ → u E (σ) ad pour une paire de Borel épinglée
E quelconque. On la note u G . Pour tout v ∈ V , le groupe H
1 (F ; G AD ) s’envoie
dans son analogue H
1 (F v ; G AD ). On note u G,v l’image de u G . Pour tout v ∈ V ,
on a un produit naturel sur
H
1 (F v ; G AD ) × Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0 .
A partir de l’égalité (24), les calculs de [II] prouvent que, pour z dans le groupe
Z défini par (26), la fonction ˜
λ z est constante, de valeur
v∈V
u G,v , x v .
La famille (u G,v ) v∈V définit un caractère de
v∈V Z( ˆ
G SC )
ΓF v /Z( ˆ
G SC )
ΓF v ,0 ,
notons-le χ G . La formule ci-dessus est l’évaluation de ce caractère χ G au point
(x v ) v∈V . On a effectué divers choix pour définir les x v . La formule montre que ces