740
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Le cocycle ((ϕ
−1
1 , ϕ
2 ), (ϕ 1 , ϕ
2
−1 , 1), 1), 1) est le produit des images de ces
deux cocycles. Par compatibilité des produits ([49] 4.3), on obtient
B v =
(μ
1 , μ y,1 ), (ϕ
−1
1 , ϕ 1 , 1)
(μ
2 , μ y,2 ), (ϕ
2 , ϕ
2
−1 , 1)
,
où il s’agit des produits sur H
0 (Γ Fv ; Y i ) × H
1 (W Fv ; ˆ
Y i ). Posons
2 M
i = (M
i ( ˜
ζ i ) × M
i ( ˜
ζ i ))/ diag(Z(G
i ( ˜
ζ i ); G)).
Le tore Y i est un sous-tore maximal de ce groupe. On a un homomorphisme
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
M
1 ( ˜
ζ 1 ))) → H
1 (W Fv ; Z(
2 ˆ
M
1 ))
ϕ 1
→
(ϕ 1 , ϕ
−1
1 , 1)
et un homomorphisme analogue concernant ϕ
2 . Notons λ ϕ1 le caractère de M
1 ( ˜
ζ 1 )
déterminé par ϕ 1 . On définit de même λ ϕ
2
. On calcule alors
B v = λ ϕ1 (μ
1
−1 μ y,1 )λ ϕ
2
(μ
2 μ
−1
y,2 ).
On note aussi ˜
λ ϕ1 l’unique fonction sur ˜
M
1 ( ˜
ζ 1 ) qui se transforme selon le caractère
λ ϕ1 et qui vaut 1 sur l’espace hyperspécial fixé par les données auxiliaires. On peut
aussi bien récrire
B v = ˜
λ ϕ1 (m
1 )
−1 ˜
λ ϕ1 (y
1 ) ˜
λ ϕ
2
(m
2 ) ˜
λ ϕ
2
(y
2 )
−1 .
Il résulte des définitions que
˜
λ ϕ1 (y
1 ) ˜
λ ϕ
2
(y
2 )
−1 = Δ 1,imp,v (y
1 , y)
−1 Δ 2,imp,v (y
2 , y).
Cela assure en même temps que
˜
λ
M
v (m
1 , m
2 ) = ˜
λ ϕ1 (m
1 ) ˜
λ ϕ
2
(m
2 )
−1 .
D’où l’égalité
B v = ˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )
−1 Δ 1,imp,v (y
1 , y)
−1 Δ 2,imp,v (y
2 , y).
Grâce à (23), on obtient
B v = ˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )
−1 Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 Δ 2,imp,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 )).
Rassemblons cette égalité avec les égalités (20) et (21). On obtient
v∈V
Δ 2,imp,v (l
2 , l
; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
=
v∈V
A v
B
−1
v ∈V
B v
=
v∈V
A v
Δ 1,imp,glob (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))Δ 2,imp,glob (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))
−1
v ∈V
˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )
−1 Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 Δ 2,imp,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 )).