VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
739
reportons-nous aux définitions de [I] 2.2. On a une égalité ˆ
V i (w) = (ϕ i (w), t( ˜
ζ i )(w))
pour tout w ∈ W Fv . Parce que y appartient à l’espace de Levi commun ˜
M v , on
voit que t( ˜
ζ i ) est de la forme t( ˜
ζ i )(w) = N (w)g i (w)
−1 N
(w), où N (w) ∈ ˆ
M v,sc
et N
(w) ∈ ˆ
M
sc sont les mêmes pour i = 1, 2. L’image de ( ˆ
V 1 , ˆ
V 2 ) dans ˆ
T y est le
triplet (ϕ 1 , ϕ
−1
2 , t( ˜
ζ 1 )t( ˜
ζ 2 )
−1 ), que l’on calcule grâce aux formules ci-dessus. C’est
(ϕ 1 , ϕ
−1
2 , m
). Ce terme vit en fait dans un quotient par le groupe ( ˆ
T
y )
2 plongé par
(t 1 , t 2 ) → ( ˆ
ξ 1 (t 1 ), ˆ
ξ 2 (t 2 ), t
−1
1 t
−1
2 ). Cela permet de remplacer le triplet précédent par
(ϕ 1 , ϕ
2
−1 , 1). Le terme V 12,sc se simplifie. Avec les mêmes notations que ci-dessus
et en fixant un relèvement g 1,sc (w) de l’image de h 1 (w) dans ˆ
G AD , on a
V 12,sc (w) = t sc ( ˜
ζ 1 )(w)
−1 t sc ( ˜
ζ 2 )(w)m
sc (w)
= N
(w)
−1 g 1,sc (w)N (w)
−1 N (w)g 1,sc (w)
−1 m
sc (w)
−1 N
(w)m
sc (w) = 1
(on se rappelle que m
sc (w) appartient à Z( ˆ
M
sc )
0 ). Enfin, le couple (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
s’envoie évidemment sur z
−1
ad . On obtient
B v =
V y , (μ
M
, ν y,12 )
,
((ϕ
−1
1 , ϕ
2 ), (ϕ 1 , ϕ
2
−1 , 1), 1), z
−1
ad
.
D’après nos choix, on a z ad ∈ Z( ˆ
M ad )
ΓF v ,0 . Ce groupe est contenu dans ˆ
T
ΓF v ,0
y,ad
puisque ˆ
T y ⊂ ˆ
M . Or le groupe ˆ
T
ΓF v ,0
y,ad est le noyau de l’accouplement sur
H
1,0 (Γ Fv ; T y,sc
1−θ
→ Σ y ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad ).
On peut donc aussi bien supprimer le terme z ad de la formule ci-dessus. Le couple
(ϕ 1 , ϕ
2
−1 ), modulo le tore ˆ
T
y plongé par t → ( ˆ
ξ 1 (t), ˆ
ξ 2 (t)
−1 ), ne dépend pas du
choix de g 1 (w). On peut modifier cette cochaîne g 1 . La situation étant non ramifiée,
on peut supposer que c’est un cocycle non ramifié. Il en est alors de même de ϕ 1 et
ϕ
2 . Pour i = 1, 2, notons Z(G
i ( ˜
ζ i ); G) la projection dans Z(G
i ( ˜
ζ i )) du produit fibré
de ce groupe avec Z(G), au-dessus de Z(G
( ˜
ζ i )). Introduisons le tore Y i quotient
de T
M
i
× T
y,i par Z(G
i ( ˜
ζ i ); G) agissant diagonalement. Son dual ˆ
Y i est l’ensemble
des (t
M
, t y , t sc ) ∈ ˆ
T
M
× ˆ
T
y,i × ˆ
T
ˆ
θ
sc tels que t
M
t y t sc = 1. On a un homomorphisme
ˆ
Y i
↓
ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad
dont on déduit un homomorphisme
H
1 (W Fv ; ˆ
Y i ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad ).
Le triplet (ϕ
−1
1 , ϕ 1 , 1) définit un élément de H
1 (W Fv ; ˆ
Y 1 ) tandis que le triplet
(ϕ
2 , ϕ
2
−1 , 1) définit un élément de H
1 (W Fv ; ˆ
Y 2 ).
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reportons-nous aux définitions de [I] 2.2. On a une égalité ˆ
V i (w) = (ϕ i (w), t( ˜
ζ i )(w))
pour tout w ∈ W Fv . Parce que y appartient à l’espace de Levi commun ˜
M v , on
voit que t( ˜
ζ i ) est de la forme t( ˜
ζ i )(w) = N (w)g i (w)
−1 N
(w), où N (w) ∈ ˆ
M v,sc
et N
(w) ∈ ˆ
M
sc sont les mêmes pour i = 1, 2. L’image de ( ˆ
V 1 , ˆ
V 2 ) dans ˆ
T y est le
triplet (ϕ 1 , ϕ
−1
2 , t( ˜
ζ 1 )t( ˜
ζ 2 )
−1 ), que l’on calcule grâce aux formules ci-dessus. C’est
(ϕ 1 , ϕ
−1
2 , m
). Ce terme vit en fait dans un quotient par le groupe ( ˆ
T
y )
2 plongé par
(t 1 , t 2 ) → ( ˆ
ξ 1 (t 1 ), ˆ
ξ 2 (t 2 ), t
−1
1 t
−1
2 ). Cela permet de remplacer le triplet précédent par
(ϕ 1 , ϕ
2
−1 , 1). Le terme V 12,sc se simplifie. Avec les mêmes notations que ci-dessus
et en fixant un relèvement g 1,sc (w) de l’image de h 1 (w) dans ˆ
G AD , on a
V 12,sc (w) = t sc ( ˜
ζ 1 )(w)
−1 t sc ( ˜
ζ 2 )(w)m
sc (w)
= N
(w)
−1 g 1,sc (w)N (w)
−1 N (w)g 1,sc (w)
−1 m
sc (w)
−1 N
(w)m
sc (w) = 1
(on se rappelle que m
sc (w) appartient à Z( ˆ
M
sc )
0 ). Enfin, le couple (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
s’envoie évidemment sur z
−1
ad . On obtient
B v =
V y , (μ
M
, ν y,12 )
,
((ϕ
−1
1 , ϕ
2 ), (ϕ 1 , ϕ
2
−1 , 1), 1), z
−1
ad
.
D’après nos choix, on a z ad ∈ Z( ˆ
M ad )
ΓF v ,0 . Ce groupe est contenu dans ˆ
T
ΓF v ,0
y,ad
puisque ˆ
T y ⊂ ˆ
M . Or le groupe ˆ
T
ΓF v ,0
y,ad est le noyau de l’accouplement sur
H
1,0 (Γ Fv ; T y,sc
1−θ
→ Σ y ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad ).
On peut donc aussi bien supprimer le terme z ad de la formule ci-dessus. Le couple
(ϕ 1 , ϕ
2
−1 ), modulo le tore ˆ
T
y plongé par t → ( ˆ
ξ 1 (t), ˆ
ξ 2 (t)
−1 ), ne dépend pas du
choix de g 1 (w). On peut modifier cette cochaîne g 1 . La situation étant non ramifiée,
on peut supposer que c’est un cocycle non ramifié. Il en est alors de même de ϕ 1 et
ϕ
2 . Pour i = 1, 2, notons Z(G
i ( ˜
ζ i ); G) la projection dans Z(G
i ( ˜
ζ i )) du produit fibré
de ce groupe avec Z(G), au-dessus de Z(G
( ˜
ζ i )). Introduisons le tore Y i quotient
de T
M
i
× T
y,i par Z(G
i ( ˜
ζ i ); G) agissant diagonalement. Son dual ˆ
Y i est l’ensemble
des (t
M
, t y , t sc ) ∈ ˆ
T
M
× ˆ
T
y,i × ˆ
T
ˆ
θ
sc tels que t
M
t y t sc = 1. On a un homomorphisme
ˆ
Y i
↓
ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad
dont on déduit un homomorphisme
H
1 (W Fv ; ˆ
Y i ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad ).
Le triplet (ϕ
−1
1 , ϕ 1 , 1) définit un élément de H
1 (W Fv ; ˆ
Y 1 ) tandis que le triplet
(ϕ
2 , ϕ
2
−1 , 1) définit un élément de H
1 (W Fv ; ˆ
Y 2 ).